Google
Câu hỏi: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn $\left( O ; 3 \right)$ và $\left( {O}' ; 3 \right)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $\Delta {O}'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O \right)$ một góc $60{}^\circ $. Tính diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón có đỉnh ${O}'$, đáy là hình tròn $\left( O ; 3 \right)$.
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{54\pi \sqrt{7}}{7}$.
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{81\pi \sqrt{7}}{7}$.
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{27\pi \sqrt{7}}{7}$.
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OH\bot AB \left( 1 \right)$.
Lại có: $O{O}'\bot \left( OAB \right)\Rightarrow O{O}'\bot AB \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AB\bot \left( {O}'OH \right)\Rightarrow AB\bot {O}'H\Rightarrow \widehat{{O}'HO}=60{}^\circ $
Đặt $OH=x$. Khi đó: $0<x<3$ và $O{O}'=x\tan {{60}^{0}}=x\sqrt{3}$.
Xét $\Delta OAH$, ta có: $A{{H}^{2}}=9-{{x}^{2}}$.
Vì $\Delta {O}'AB$ đều nên: ${O}'A=AB=2AH=2\sqrt{9-{{x}^{2}}}\left( 3 \right)$.
Mặt khác $\Delta AO{O}'$ vuông tại $O$ nên $A{{{O}'}^{2}}=O{{{O}'}^{2}}+{{3}^{2}}=3{{x}^{2}}+9\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 3 \right) , \left( 4 \right)$ ta có: $4\left( 9-{{x}^{2}} \right)=3{{x}^{2}}+9\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{27}{7}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow h=O{O}'=x\sqrt{3}=\dfrac{9\sqrt{7}}{7}$.
Độ dài đường sinh hình nón là $l={O}'A=\dfrac{12\sqrt{7}}{7}$.
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{54\pi \sqrt{7}}{7}$.
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{81\pi \sqrt{7}}{7}$.
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{27\pi \sqrt{7}}{7}$.
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
Lại có: $O{O}'\bot \left( OAB \right)\Rightarrow O{O}'\bot AB \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AB\bot \left( {O}'OH \right)\Rightarrow AB\bot {O}'H\Rightarrow \widehat{{O}'HO}=60{}^\circ $
Đặt $OH=x$. Khi đó: $0<x<3$ và $O{O}'=x\tan {{60}^{0}}=x\sqrt{3}$.
Xét $\Delta OAH$, ta có: $A{{H}^{2}}=9-{{x}^{2}}$.
Vì $\Delta {O}'AB$ đều nên: ${O}'A=AB=2AH=2\sqrt{9-{{x}^{2}}}\left( 3 \right)$.
Mặt khác $\Delta AO{O}'$ vuông tại $O$ nên $A{{{O}'}^{2}}=O{{{O}'}^{2}}+{{3}^{2}}=3{{x}^{2}}+9\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 3 \right) , \left( 4 \right)$ ta có: $4\left( 9-{{x}^{2}} \right)=3{{x}^{2}}+9\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{27}{7}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow h=O{O}'=x\sqrt{3}=\dfrac{9\sqrt{7}}{7}$.
Độ dài đường sinh hình nón là $l={O}'A=\dfrac{12\sqrt{7}}{7}$.
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
Đáp án D.