Google
Câu hỏi: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ${\left(I ; \sqrt{7}\right)}$ và ${\left(J ; \sqrt{7}\right)}$. Biết rằng tồn tại dây cung ${E F}$ của đường tròn ${\left(I ; \sqrt{7}\right)}$ sao cho tam giác ${J E F}$ là tam giác đều và mặt phẳng ${\left(J E F \right)}$ hợp với mặt đáy của hình trụ một góc bằng ${60^{\circ}}$. Thể tích ${V}$ của khối trụ đã cho là
A. ${V=21 \pi}$.
B. ${V=7 \sqrt{6} \pi}$.
C. ${V=14 \pi}$.
D. ${V=28 \pi}$.
Ta có $IJ\bot \left( IEF \right)$.
Gò $M$ là trung điểm của $EF$ thì $OM\bot EF$, $JM\bot EF$ $\Rightarrow \widehat{JMI}=60{}^\circ $.
Giả sử $IM=x$.
Khi đó $0<x<\sqrt{7}$ và $IJ=x.\tan \widehat{JMI}=x.\tan {{60}^{{}^\circ }}=x\sqrt{3}$.
Xét $\Delta IME$, ta có: $E{{M}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=7-{{x}^{2}}\Rightarrow EM=\sqrt{7-{{x}^{2}}}$.
V $\Delta JEF$ đều nên $JE=EF=2EM=2\sqrt{7-{{x}^{2}}} \left( 1 \right)$.
Mặt khác, $\Delta IJE$ vuông tại $I$ nên $J{{E}^{2}}=I{{J}^{2}}+I{{E}^{2}}=3{{x}^{2}}+{{R}^{2}}=3{{x}^{2}}+7 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow 4\left( 7-{{x}^{2}} \right)=3{{x}^{2}}+7\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3}$.
$\Rightarrow h=IJ=x\sqrt{3}=3$.
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}.3=21\pi $.
A. ${V=21 \pi}$.
B. ${V=7 \sqrt{6} \pi}$.
C. ${V=14 \pi}$.
D. ${V=28 \pi}$.
Gò $M$ là trung điểm của $EF$ thì $OM\bot EF$, $JM\bot EF$ $\Rightarrow \widehat{JMI}=60{}^\circ $.
Giả sử $IM=x$.
Khi đó $0<x<\sqrt{7}$ và $IJ=x.\tan \widehat{JMI}=x.\tan {{60}^{{}^\circ }}=x\sqrt{3}$.
Xét $\Delta IME$, ta có: $E{{M}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=7-{{x}^{2}}\Rightarrow EM=\sqrt{7-{{x}^{2}}}$.
V $\Delta JEF$ đều nên $JE=EF=2EM=2\sqrt{7-{{x}^{2}}} \left( 1 \right)$.
Mặt khác, $\Delta IJE$ vuông tại $I$ nên $J{{E}^{2}}=I{{J}^{2}}+I{{E}^{2}}=3{{x}^{2}}+{{R}^{2}}=3{{x}^{2}}+7 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow 4\left( 7-{{x}^{2}} \right)=3{{x}^{2}}+7\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3}$.
$\Rightarrow h=IJ=x\sqrt{3}=3$.
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}.3=21\pi $.
Đáp án A.