Google
Câu hỏi: Cho hình trụ (T) có bán kính đáy $r=\sqrt{6}$ và chiều cao gấp đôi bán kính đáy. Gọi O và $O'$ lần lượt là tâm của hai đáy trụ. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm $O'$ lấy điểm B sao cho thể tích của tứ diện $OO'AB$ lớn nhất. Tính AB?
A. $\sqrt{30}$.
B. 6.
C. 5.
D. $4\sqrt{3}$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt đáy $\left( {{O}'} \right)$.
Ta có $OO'A'A$ là hình chữ nhật.
Ta có ${{S}_{OO'A}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{O{O}'A{A}'}}=\dfrac{1}{2}.OO'.AA'=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}.2\sqrt{6}=6.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ lên đường thẳng ${O}'A$.
ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot O'A' \\
& BH\bot O{O}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( OO'A \right).$
Thể tích của khối tứ diện $OO'AB$ là $V=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{OO'A}}=2BH\le 2OB=2\sqrt{6}$.
Khi đó tam giác $O'A'B$ vuông tại $O'$.
$\Rightarrow A'B=r\sqrt{2}=2\sqrt{3}\Rightarrow A'B=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{B}^{2}}}=\sqrt{24+12}=6.$
A. $\sqrt{30}$.
B. 6.
C. 5.
D. $4\sqrt{3}$.
Ta có $OO'A'A$ là hình chữ nhật.
Ta có ${{S}_{OO'A}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{O{O}'A{A}'}}=\dfrac{1}{2}.OO'.AA'=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}.2\sqrt{6}=6.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ lên đường thẳng ${O}'A$.
ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot O'A' \\
& BH\bot O{O}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( OO'A \right).$
Thể tích của khối tứ diện $OO'AB$ là $V=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{OO'A}}=2BH\le 2OB=2\sqrt{6}$.
Khi đó tam giác $O'A'B$ vuông tại $O'$.
$\Rightarrow A'B=r\sqrt{2}=2\sqrt{3}\Rightarrow A'B=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{B}^{2}}}=\sqrt{24+12}=6.$
Đáp án B.