Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm $O$ và $O'$, chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua tâm $O$ và tạo với $OO'$ một góc ${{30}^{0}}$, cắt hai đường tròn tâm $O$ và $O'$ tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có diện tích bằng $3{{a}^{2}}$. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{144\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{169}$.
B. $\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{12\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{13}$.
D. $\dfrac{169\sqrt{3}}{144}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Góc giữa $\left( P \right)$ và $O{O}'$ là góc $\widehat{{O}'OM}=30{}^\circ $.
Ta có $h=OO'=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông $OO'M$ có
$O'M=OO'.\tan {{30}^{\circ }}=a; OM=\sqrt{OO{{'}^{2}}+O'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
Xét tam giác vuông $O'MC$ có $MC=\sqrt{{O}'{{C}^{2}}-{O}'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow BC=2MC=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}$.
Ta có $AD=2R$.
Diện tích hình thang $ABCD$ là
${{S}_{ABCD}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{\left( AD+BC \right).OM}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( 2R+BC \right).2a=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2R+BC=3a$.
$\Leftrightarrow 2R+2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=3a\Leftrightarrow 2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=3a-2R\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a\ge 2R \\
& 4\left( {{R}^{2}}-{{a}^{2}} \right)={{\left( 3a-2R \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge \dfrac{2R}{3} \\
& 13{{a}^{2}}-12Ra=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow R=\dfrac{13}{12}a$
Thể tích khối trụ $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{\left( \dfrac{13a}{12} \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{169\sqrt{3}}{144}\pi {{a}^{3}}$
Ghi chú.Đề gốc ban đầu bị thừa giả thiết hình thang có độ dài đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ dẫn đến bài toán sai, do đó tổ biên soạn đã điều chỉnh lại đề bài cùng đáp án.
A. $\dfrac{144\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{169}$.
B. $\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{12\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{13}$.
D. $\dfrac{169\sqrt{3}}{144}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Góc giữa $\left( P \right)$ và $O{O}'$ là góc $\widehat{{O}'OM}=30{}^\circ $.
Ta có $h=OO'=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông $OO'M$ có
$O'M=OO'.\tan {{30}^{\circ }}=a; OM=\sqrt{OO{{'}^{2}}+O'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
Xét tam giác vuông $O'MC$ có $MC=\sqrt{{O}'{{C}^{2}}-{O}'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow BC=2MC=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}$.
Ta có $AD=2R$.
Diện tích hình thang $ABCD$ là
${{S}_{ABCD}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{\left( AD+BC \right).OM}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( 2R+BC \right).2a=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2R+BC=3a$.
$\Leftrightarrow 2R+2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=3a\Leftrightarrow 2\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=3a-2R\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a\ge 2R \\
& 4\left( {{R}^{2}}-{{a}^{2}} \right)={{\left( 3a-2R \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge \dfrac{2R}{3} \\
& 13{{a}^{2}}-12Ra=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow R=\dfrac{13}{12}a$
Thể tích khối trụ $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{\left( \dfrac{13a}{12} \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{169\sqrt{3}}{144}\pi {{a}^{3}}$
Ghi chú.Đề gốc ban đầu bị thừa giả thiết hình thang có độ dài đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ dẫn đến bài toán sai, do đó tổ biên soạn đã điều chỉnh lại đề bài cùng đáp án.
Đáp án D.