Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn $\left( O,R \right)$ và $\left( {O}',R \right)$, $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( O,R \right)$, tam giác ${O}'AB$ đều và mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy của hình trụ một góc ${{45}^{0}}$. Thể tích của khối trụ đã co bằng
A. $\dfrac{\pi \sqrt{15}{{R}^{3}}}{15}$.
B. $\dfrac{\pi \sqrt{15}{{R}^{3}}}{5}$.
C. $\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
D. $\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ khi đó mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy của hình trụ bằng $\widehat{OH{O}'}={{45}^{0}}$.
Ta có ${O}'H=\dfrac{{O}'B.\sqrt{3}}{2}\Rightarrow O{O}'=\dfrac{{O}'B.\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
Mặt khác: $O{{B}^{2}}+O{{{O}'}^{2}}={O}'{{B}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+\dfrac{3{O}'{{B}^{2}}}{8}={O}'{{B}^{2}}\Rightarrow {O}'B=\sqrt{\dfrac{8}{5}}.R\Rightarrow O{O}'=\dfrac{\sqrt{15}R}{5}$.
Vậy thể tích $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{15}}{5}$.
A. $\dfrac{\pi \sqrt{15}{{R}^{3}}}{15}$.
B. $\dfrac{\pi \sqrt{15}{{R}^{3}}}{5}$.
C. $\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
D. $\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
Ta có ${O}'H=\dfrac{{O}'B.\sqrt{3}}{2}\Rightarrow O{O}'=\dfrac{{O}'B.\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
Mặt khác: $O{{B}^{2}}+O{{{O}'}^{2}}={O}'{{B}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+\dfrac{3{O}'{{B}^{2}}}{8}={O}'{{B}^{2}}\Rightarrow {O}'B=\sqrt{\dfrac{8}{5}}.R\Rightarrow O{O}'=\dfrac{\sqrt{15}R}{5}$.
Vậy thể tích $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án B.