Cho hình trụ có diện tích toàn phần là $4\pi $ và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ.

Phương pháp giải:
- Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình trụ là hình vuông nên hình trụ có chiều cao $h$ bằng 2 lần bán kính đáy $R$.
- Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$, từ đó tính được $R,h$.
- Thể tích của khối trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$ là: $V=\pi {{R}^{2}}h$.
Giải chi tiết:
Giả sử hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R.
Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình trụ là hình vuông nên $h=2R$.
Theo bài ra ta có:
${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}\Leftrightarrow 4\pi =2\pi .R.2R+2\pi {{R}^{2}}\Leftrightarrow 4\pi =6\pi {{R}^{2}}$
$\Leftrightarrow R=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow h=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
Vậy thể tích khối trụ là: $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}.\dfrac{2\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4\pi \sqrt{6}}{9}$.