Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $3a.$ Cắt hình trụ bỏi một mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $a\sqrt{5},$ ta được một thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
A. $2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}.$
B. $12\pi {{a}^{3}}$
C. $36\pi {{a}^{3}}$
D. $\dfrac{2\sqrt{2}\pi }{3}{{a}^{3}}$
A. $2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}.$
B. $12\pi {{a}^{3}}$
C. $36\pi {{a}^{3}}$
D. $\dfrac{2\sqrt{2}\pi }{3}{{a}^{3}}$
Phương pháp:
- Xác định khoảng cách từ trục đến $\left( P \right),$ sử dụng định lí Pytago tính cạnh của hình vuông và suy ra chiều cao khối trụ.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông $ABCD$ như hình vẽ.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ABCD \right) \right)=OI=d\left( OO';\left( ABCD \right) \right).$
$\Rightarrow OI=a\sqrt{5}.$
Áp dụng định lí Pyatgo ta có $AI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow AB=2AI=4a=AD=OO'.$
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi .{{\left( 3a \right)}^{2}}.4a=36\pi {{a}^{3}}.$
- Xác định khoảng cách từ trục đến $\left( P \right),$ sử dụng định lí Pytago tính cạnh của hình vuông và suy ra chiều cao khối trụ.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông $ABCD$ như hình vẽ.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ABCD \right) \right)=OI=d\left( OO';\left( ABCD \right) \right).$
$\Rightarrow OI=a\sqrt{5}.$
Áp dụng định lí Pyatgo ta có $AI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow AB=2AI=4a=AD=OO'.$
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi .{{\left( 3a \right)}^{2}}.4a=36\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án C.