Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $y={{e}^{x}},y=0,x=0$ và $x=\ln 4.$ Đường thẳng $x=k\left( k\in \mathbb{R},0<k<\ln 4 \right)$ chia hình phẳng $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ (xem hình vẽ).
Tìm $k$ để ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}.$
A. $k=\ln 3$
B. $k=\ln \dfrac{8}{3}$
C. $k=\dfrac{2}{3}\ln 4$
D. $k=\ln 2$
Tìm $k$ để ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}.$
A. $k=\ln 3$
B. $k=\ln \dfrac{8}{3}$
C. $k=\dfrac{2}{3}\ln 4$
D. $k=\ln 2$
Cách giải:
Ta có: ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{l}{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\left| \begin{aligned}
& k \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.={{e}^{k}}-1$
${{S}_{2}}=\int\limits_{k}^{\ln 4}{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\left| \begin{aligned}
& \ln 4 \\
& k \\
\end{aligned} \right.=4-{{e}^{k}}$
Do ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}\Rightarrow 4-{{e}^{k}}=2\left( {{e}^{k}}-1 \right)\Rightarrow 3{{e}^{k}}=6\Rightarrow {{e}^{k}}=2\Rightarrow k=\ln 2$
Ta có: ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{l}{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\left| \begin{aligned}
& k \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.={{e}^{k}}-1$
${{S}_{2}}=\int\limits_{k}^{\ln 4}{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\left| \begin{aligned}
& \ln 4 \\
& k \\
\end{aligned} \right.=4-{{e}^{k}}$
Do ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}\Rightarrow 4-{{e}^{k}}=2\left( {{e}^{k}}-1 \right)\Rightarrow 3{{e}^{k}}=6\Rightarrow {{e}^{k}}=2\Rightarrow k=\ln 2$
Đáp án D.