Google
Câu hỏi: Cho hình nón ${{\mathcal{N}}_{1}}$ có đỉnh $S,$ chiều cao $h$. Một hình nón ${{\mathcal{N}}_{2}}$ có đỉnh là tâm của đáy ${{\mathcal{N}}_{1}}$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của ${{\mathcal{N}}_{1}}$ như hình vẽ. Khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng
A. $\dfrac{h\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{h}{2}.$
C. $\dfrac{h}{3}.$
D. $\dfrac{2h}{3}.$
Gọi $r$ là bán kính đáy khối nón ${{\mathcal{N}}_{1}}.$ Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón ${{\mathcal{N}}_{1}}.$
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\Leftrightarrow r=\sqrt{\dfrac{3{{V}_{1}}}{\pi h}}.$
Gọi $r'$ là bán kính đáy của khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}.$
Ta có $\dfrac{r'}{r}=\dfrac{h-x}{h}\Leftrightarrow r'=\dfrac{r\left( h-x \right)}{h}.$
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}.$
Ta có ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi r{{'}^{2}}x=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{3{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x=\dfrac{\pi }{6{{h}^{2}}}.\dfrac{3{{V}_{1}}}{\pi h}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x=\dfrac{{{V}_{1}}}{2{{h}^{3}}}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $h-x,h-x,2x$ ta có:
$\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{{{\left( h-x+h-x+2x \right)}^{3}}}{27}\Leftrightarrow \left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{8{{h}^{3}}}{27}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{2{{h}^{3}}}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{4{{V}_{1}}}{27}$.
Dấu "=" xảy ra $h-x=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}.$
Vậy khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng $\dfrac{h}{3}.$
A. $\dfrac{h\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{h}{2}.$
C. $\dfrac{h}{3}.$
D. $\dfrac{2h}{3}.$
Gọi $r$ là bán kính đáy khối nón ${{\mathcal{N}}_{1}}.$ Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón ${{\mathcal{N}}_{1}}.$
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\Leftrightarrow r=\sqrt{\dfrac{3{{V}_{1}}}{\pi h}}.$
Gọi $r'$ là bán kính đáy của khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}.$
Ta có $\dfrac{r'}{r}=\dfrac{h-x}{h}\Leftrightarrow r'=\dfrac{r\left( h-x \right)}{h}.$
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}.$
Ta có ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi r{{'}^{2}}x=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{3{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x=\dfrac{\pi }{6{{h}^{2}}}.\dfrac{3{{V}_{1}}}{\pi h}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x=\dfrac{{{V}_{1}}}{2{{h}^{3}}}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $h-x,h-x,2x$ ta có:
$\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{{{\left( h-x+h-x+2x \right)}^{3}}}{27}\Leftrightarrow \left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{8{{h}^{3}}}{27}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{2{{h}^{3}}}\left( h-x \right)\left( h-x \right)2x\le \dfrac{4{{V}_{1}}}{27}$.
Dấu "=" xảy ra $h-x=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}.$
Vậy khối nón ${{\mathcal{N}}_{2}}$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng $\dfrac{h}{3}.$
Đáp án C.