Cho hình nón ${\mathcal{N}}_1$ có đỉnh $S,$ chiều cao $h$. Một hình nón ${\mathcal{N}}_2$ có đỉnh là tâm của đáy ${\mathcal{N}}_1$ và...

Gọi $r$ là bán kính đáy khối nón ${\mathcal{N}}_1.$ Gọi $V_1$ là thể tích khối nón ${\mathcal{N}}_1.$
Ta có $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h\iff r=\sqrt{{\displaystyle \frac{3V_1}{\pi h}}}.$
Gọi $r^{\prime }$ là bán kính đáy của khối nón ${\mathcal{N}}_2.$
Ta có ${\displaystyle \frac{r^{\prime }}{r}}={\displaystyle \frac{h-x}{h}}\iff r^{\prime }={\displaystyle \frac{r(h-x)}{h}}.$
Gọi $V_2$ là thể tích khối nón ${\mathcal{N}}_2.$
Ta có $V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r{{}^{\prime }}^{2}x={\displaystyle \frac{\pi r^2}{3h^2}}{(h-x)}^{2}x={\displaystyle \frac{\pi }{6h^2}}.{\displaystyle \frac{3V_1}{\pi h}}(h-x)(h-x)2x={\displaystyle \frac{V_1}{2h^3}}(h-x)(h-x)2x.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $h-x,h-x,2x$ ta có:
$(h-x)(h-x)2x\le {\displaystyle \frac{{(h-x+h-x+2x)}^3}{27}}\iff (h-x)(h-x)2x\le {\displaystyle \frac{8h^3}{27}}$
$\iff {\displaystyle \frac{V_1}{2h^3}}(h-x)(h-x)2x\le {\displaystyle \frac{4V_1}{27}}$.
Dấu "=" xảy ra $h-x=2x\iff x={\displaystyle \frac{h}{3}}.$
Vậy khối nón ${\mathcal{N}}_2$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng ${\displaystyle \frac{h}{3}}.$