Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( T \right)$ đỉnh $S,$ có đáy là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $O,$ bán kính bằng 2, chiều cao hình nón $\left( T \right)$ bằng 2. Khi cắt hình nón $\left( T \right)$ bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn $SO$ và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $I.$ Lấy hai điểm $A$ và $B$ lần lượt trên hai đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ và $\left( {{C}_{1}} \right)$ sao cho góc giữa $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối tứ diện $IAOB$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{24}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{24}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức ${{V}_{IAOB}}=\dfrac{1}{6}IA.OB.d\left( IA;OB \right).\sin \angle \left( IA;OB \right).$
Cách giải:
Gọi $A'=SA\cap \left( {{C}_{1}} \right),$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{IA}{OA'}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}OA'=1.$
Ta có $IO$ vuông góc và cắt cả $IA,OB\Rightarrow IO$ là đoạn vuông góc chung của $IA,OB.$
$\Rightarrow d\left( IA;OB \right)=IO=\dfrac{1}{2}SO=1.$
Vậy ${{V}_{IAOB}}=\dfrac{1}{6}IA.OB.d\left( IA;OB \right).\sin \angle \left( IA;OB \right)=\dfrac{1}{6}.1.2.1.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Sử dụng công thức ${{V}_{IAOB}}=\dfrac{1}{6}IA.OB.d\left( IA;OB \right).\sin \angle \left( IA;OB \right).$
Cách giải:
Gọi $A'=SA\cap \left( {{C}_{1}} \right),$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{IA}{OA'}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}OA'=1.$
Ta có $IO$ vuông góc và cắt cả $IA,OB\Rightarrow IO$ là đoạn vuông góc chung của $IA,OB.$
$\Rightarrow d\left( IA;OB \right)=IO=\dfrac{1}{2}SO=1.$
Vậy ${{V}_{IAOB}}=\dfrac{1}{6}IA.OB.d\left( IA;OB \right).\sin \angle \left( IA;OB \right)=\dfrac{1}{6}.1.2.1.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Đáp án A.