Cho hình nón $\left(N\right)$ đỉnh S có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh $S_{xq}=2\pi a^2$. Tính thể tích V của khối chóp...

Phương pháp giải:
- Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là $S_{xq}=\pi rl$ để tính độ dài đường sinh của hình nón.
- Tính chiều cao của hình nón $h=\sqrt{l^2-r^2}$ để tính chiều cao của hình nón, cũng chính là chiều cao của khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Bh$.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và $SO$ cũng chính là chiều cao của khối nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi .a.l=2\pi a^2$ $\Rightarrow l=2a$.
Chiều cao của hình nón là $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}=SO$.
Ta có: $AC=2r=2a$ nên $AB={\displaystyle \frac{AC}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{2}}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow S_{ABCD}={\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2a^2$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SO.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.a\sqrt{3}.2a^2={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}}$.