Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ đỉnh S có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi {{a}^{2}}$. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ nội tiếp đáy của khối nón $\left( N \right)$.
A. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
A. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp giải:
- Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là ${{S}_{xq}}=\pi rl$ để tính độ dài đường sinh của hình nón.
- Tính chiều cao của hình nón $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$ để tính chiều cao của hình nón, cũng chính là chiều cao của khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V=\dfrac{1}{3}Bh$.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ và $SO$ cũng chính là chiều cao của khối nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a.l=2\pi {{a}^{2}}$ $\Rightarrow l=2a$.
Chiều cao của hình nón là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}=SO$.
Ta có: $AC=2r=2a$ nên $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
- Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là ${{S}_{xq}}=\pi rl$ để tính độ dài đường sinh của hình nón.
- Tính chiều cao của hình nón $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$ để tính chiều cao của hình nón, cũng chính là chiều cao của khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V=\dfrac{1}{3}Bh$.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ và $SO$ cũng chính là chiều cao của khối nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a.l=2\pi {{a}^{2}}$ $\Rightarrow l=2a$.
Chiều cao của hình nón là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}=SO$.
Ta có: $AC=2r=2a$ nên $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án B.