Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao $SO=h$ và bán kính đáy bằng $R$, gọi $M$ là điểm trên đoạn $SO$, đặt $OM=x$, $0<x<h$. $\left( C \right)$ là thiết diện của mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với trục $SO$ tại $M$, với hình nón $\left( N \right)$. Tìm $x$ để thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ lớn nhất.
A. $\dfrac{h}{2}$.
B. $\dfrac{h\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{h\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{h}{3}$.
Ta có $BM$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$.
Do tam giác $\Delta SBM\backsim \Delta SAO$ nên $\dfrac{BM}{AO}=\dfrac{SM}{SO}$ $\Leftrightarrow BM=\dfrac{AO.SM}{SO}$ $\Leftrightarrow BM=\dfrac{R\left( h-x \right)}{h}$.
Thể tích của khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi B{{M}^{2}}.OM$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{\left[ \dfrac{R\left( h-x \right)}{h} \right]}^{2}}x$ $=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x$, $\left( 0<x<h \right)$ ta có
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}$.
Lập bảng biến thiên ta có
Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ lớn nhất khi $x=\dfrac{h}{3}$.
A. $\dfrac{h}{2}$.
B. $\dfrac{h\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{h\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{h}{3}$.
Do tam giác $\Delta SBM\backsim \Delta SAO$ nên $\dfrac{BM}{AO}=\dfrac{SM}{SO}$ $\Leftrightarrow BM=\dfrac{AO.SM}{SO}$ $\Leftrightarrow BM=\dfrac{R\left( h-x \right)}{h}$.
Thể tích của khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi B{{M}^{2}}.OM$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{\left[ \dfrac{R\left( h-x \right)}{h} \right]}^{2}}x$ $=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x$, $\left( 0<x<h \right)$ ta có
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}$.
Lập bảng biến thiên ta có
Đáp án D.