Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đáy là hình tròn tâm $O,$ đỉnh $S$, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2a.$ Cho điểm $H$ thay đổi trên đoạn thẳng $SO.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $SO$ tại $H$ và cắt hình nón theo đường tròn $\left( C \right).$ Khối nón có đỉnh $O$ và đáy là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
C. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
Gọi $x=OH\left( x>0 \right),r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$.
$SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ (Pi-ta-go)
$SH=a\sqrt{3}-x.$
Dễ thấy $\Delta SHM\backsim \Delta SOB$ nên:
$\dfrac{HM}{OB}=\dfrac{SH}{SO}\Leftrightarrow \dfrac{r}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}-a}{a\sqrt{3}}\Leftrightarrow r=\dfrac{a\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$
Thể tích hình nón đỉnh $O$ và đáy là hình tròn $\left( C \right):$
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{\left( a\sqrt{3}-x \right)}^{2}}}{3}.x=\dfrac{1}{9}\pi .\left( {{x}^{3}}-2\sqrt{3}a{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}x \right).$
$V'=\dfrac{1}{9}\pi .\left( 3{{x}^{2}}-4\sqrt{3}ax+3{{a}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\sqrt{3}a \\
& x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên
${{V}_{\max }}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi .{{a}^{3}}}{81}.$
A. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
C. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{81}$
Gọi $x=OH\left( x>0 \right),r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$.
$SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ (Pi-ta-go)
$SH=a\sqrt{3}-x.$
Dễ thấy $\Delta SHM\backsim \Delta SOB$ nên:
$\dfrac{HM}{OB}=\dfrac{SH}{SO}\Leftrightarrow \dfrac{r}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}-a}{a\sqrt{3}}\Leftrightarrow r=\dfrac{a\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$
Thể tích hình nón đỉnh $O$ và đáy là hình tròn $\left( C \right):$
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{{\left( a\sqrt{3}-x \right)}^{2}}}{3}.x=\dfrac{1}{9}\pi .\left( {{x}^{3}}-2\sqrt{3}a{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}x \right).$
$V'=\dfrac{1}{9}\pi .\left( 3{{x}^{2}}-4\sqrt{3}ax+3{{a}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\sqrt{3}a \\
& x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên
${{V}_{\max }}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi .{{a}^{3}}}{81}.$
Đáp án A.