Cho hình nón $(N)$ có đáy là hình tròn tâm $O,$ đỉnh $S$ , thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2 a .$ Cho điểm $H$ thay đổi trên...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình nón

(N)

có đáy là hình tròn tâm

O,

đỉnh

S

, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh

2 a .

Cho điểm

H

thay đổi trên đoạn thẳng

S O .

Mặt phẳng

(P)

vuông góc với

S O

tại

H

và cắt hình nón theo đường tròn

(C) .

Khối nón có đỉnh

O

và đáy là hình tròn

(C)

có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.

\frac{4 \sqrt{3} π a^{3}}{81} .

B.

\frac{2 \sqrt{3} π a^{3}}{81}

C.

\frac{3 \sqrt{3} π a^{3}}{81}

D.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{81}

Gọi

x = O H (x > 0), r

là bán kính đường tròn

(C)

.

S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = a \sqrt{3}

(Pi-ta-go)

S H = a \sqrt{3} - x .

Dễ thấy

Δ S H M ∽ Δ S O B

nên:

\frac{H M}{O B} = \frac{S H}{S O} \Leftrightarrow \frac{r}{a} = \frac{a \sqrt{3} - a}{a \sqrt{3}} \Leftrightarrow r = \frac{a \sqrt{3} - x}{\sqrt{3}}

Thể tích hình nón đỉnh

O

và đáy là hình tròn

(C) :

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \frac{{(a \sqrt{3} - x)}^{2}}{3} . x = \frac{1}{9} π . (x^{3} - 2 \sqrt{3} a x^{2} + 3 a^{2} x) .

V^{'} = \frac{1}{9} π . (3 x^{2} - 4 \sqrt{3} a x + 3 a^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \sqrt{3} a \\ x = \frac{\sqrt{3}}{3} a \end{aligned} .

Bảng biến thiên

V_{max} = \frac{4 \sqrt{3} π . a^{3}}{81} .

Đáp án A.

Cho hình nón (N) có đáy là hình tròn tâm O, đỉnh S, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2a. Cho điểm H thay đổi trên...