Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( H \right)$ có đỉnh $S$ và đáy là hình tròn tâm $O$, bán kính $R$, chiều cao $2R$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$ có độ dài bằng bán kính đáy. Tính $\sin $ của góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$.
A. $\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{57}}{19}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
+ Xác định góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$
Kẻ $OM\bot AB$, $M\in AB$ ( $M$ là trung điểm $AB$ ), kẻ $OK\bot SM$, $K\in SM$. Chứng minh $OK\bot \left( SAB \right)$. Thật vậy: $OK\bot SM$ (theo cách kẻ), $OK\bot AB$ ( Vì $AB\bot \left( SOM \right)$, do $OM\bot AB$ và $AB\bot SO$ ). Suy ra: hình chiếu vuông góc của $OA$ trên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $AK$. Vậy góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là góc taọ bởi hai đường thẳng $OA$ và $AK$ hay góc $\widehat{OAK}$
+ Tính $\sin $ của góc $\widehat{OAK}$
Tam giác $OAB$ đều, cạnh là $R$ nên $OM=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Xét tam giác vuông $SOM$ có
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2R \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{R}^{2}}}$ $\Rightarrow $ $OK=\dfrac{2R\sqrt{57}}{19}$
Trong tam giác vuông $OKA$ (vuông tại K), có $\sin \widehat{OAK}=\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{2R\sqrt{57}}{19R}=\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{57}}{19}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
+ Xác định góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$
Kẻ $OM\bot AB$, $M\in AB$ ( $M$ là trung điểm $AB$ ), kẻ $OK\bot SM$, $K\in SM$. Chứng minh $OK\bot \left( SAB \right)$. Thật vậy: $OK\bot SM$ (theo cách kẻ), $OK\bot AB$ ( Vì $AB\bot \left( SOM \right)$, do $OM\bot AB$ và $AB\bot SO$ ). Suy ra: hình chiếu vuông góc của $OA$ trên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $AK$. Vậy góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là góc taọ bởi hai đường thẳng $OA$ và $AK$ hay góc $\widehat{OAK}$
+ Tính $\sin $ của góc $\widehat{OAK}$
Tam giác $OAB$ đều, cạnh là $R$ nên $OM=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Xét tam giác vuông $SOM$ có
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2R \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{R}^{2}}}$ $\Rightarrow $ $OK=\dfrac{2R\sqrt{57}}{19}$
Trong tam giác vuông $OKA$ (vuông tại K), có $\sin \widehat{OAK}=\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{2R\sqrt{57}}{19R}=\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
Đáp án A.