Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đường tròn đáy tâm $O$, độ dài đường sinh $SA=a$, đường kính đáy $AB$. Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$ và cắt đường tròn đáy theo dây cung $MN=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ ( $M,N$ không trùng với hai điểm $A,B$ ). Biết rằng khoảng cách từ $A$ tới $MN$ bằng $a$. Tính thể tích khối nón
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{6}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}\pi }{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi }{9}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $MN$, Đặt $OM=x$ $\Rightarrow OH=\sqrt{O{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}$
$SO=OH.\tan {{60}^{0}}=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$.
Mặt khác $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow 4{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do đó $SO=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow $ $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{M}^{2}}.OS=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{12}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{6}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}\pi }{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi }{9}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $MN$, Đặt $OM=x$ $\Rightarrow OH=\sqrt{O{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}$
$SO=OH.\tan {{60}^{0}}=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$.
Mặt khác $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow 4{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do đó $SO=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow $ $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{M}^{2}}.OS=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}\pi }{12}$.
Đáp án C.