Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông cân có diện tích bằng $4$. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$
C. $\sqrt{5}\pi $
D. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4\Rightarrow SA=2\sqrt{2}\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=4$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SI=AI=2 \\
& \widehat{ISO}={{30}^{0}}\Rightarrow OI=\dfrac{1}{2}SI=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& R=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{1}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5} \\
& h=SO=OI.\tan {{60}^{0}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $V$ là thể tích của khối nón cần tính, theo công thức $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$
Ta có $V=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng $\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$
C. $\sqrt{5}\pi $
D. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4\Rightarrow SA=2\sqrt{2}\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=4$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SI=AI=2 \\
& \widehat{ISO}={{30}^{0}}\Rightarrow OI=\dfrac{1}{2}SI=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& R=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{1}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5} \\
& h=SO=OI.\tan {{60}^{0}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $V$ là thể tích của khối nón cần tính, theo công thức $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$
Ta có $V=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng $\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{3}$
Đáp án A.