Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông $SAB$ có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Góc giữa trục $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $30{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A. $4\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, tam giác $OAB$ cân đỉnh $O$ nên $OM\bot AB$ và $SO\bot AB$ suy ra $AB\bot \left( SOM \right)$. Dựng $OK\bot SM$.
Theo trên có $OK\bot AB$ nên $OK\bot \left( SAB \right)$.
Vậy góc tạo bởi giữa trục $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSM}=30{}^\circ $.
Tam giác vuông cân $SAB$ có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$ suy ra $\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a$.
Xét tam giác vuông $SOM$ có $\cos \widehat{OSM}=\dfrac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2a=\sqrt{3}a$.
Cuối cùng $OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}\sqrt{10}\pi $.
A. $4\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, tam giác $OAB$ cân đỉnh $O$ nên $OM\bot AB$ và $SO\bot AB$ suy ra $AB\bot \left( SOM \right)$. Dựng $OK\bot SM$.
Theo trên có $OK\bot AB$ nên $OK\bot \left( SAB \right)$.
Vậy góc tạo bởi giữa trục $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSM}=30{}^\circ $.
Tam giác vuông cân $SAB$ có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$ suy ra $\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a$.
Xét tam giác vuông $SOM$ có $\cos \widehat{OSM}=\dfrac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2a=\sqrt{3}a$.
Cuối cùng $OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}\sqrt{10}\pi $.
Đáp án B.