Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $\sqrt{5}\pi $.
B. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
Theo giả thiết ta có: $\Delta SAB$ vuông cân tại S và ${{S}_{\Delta SAB}}=4$.
Nên $\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4\Rightarrow SA=2\sqrt{2}\Rightarrow l=2\sqrt{2}$
và $AB=SA\sqrt{2}=4$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $AB\bot OH,SH=\dfrac{1}{2}AB=2.$
Gọi $K$ là hình chiếu của O lên SH.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK $ mà $ SH\bot OK $ nên $ OK\bot \left( SAB \right)$.
Do đó, góc giữa $SO$ và $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSK}\Rightarrow \widehat{OSK}=30{}^\circ $.
$\Delta SOH$ vuông tại $O$, có $\widehat{OSH}=30{}^\circ $ nên $OH=\dfrac{1}{2}SH=1\Rightarrow SO=\sqrt{3}$.
Do ${{r}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=1+4=5\Rightarrow r=\sqrt{5}$.
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SO.\pi {{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\pi .5=\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$.
A. $\sqrt{5}\pi $.
B. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
Theo giả thiết ta có: $\Delta SAB$ vuông cân tại S và ${{S}_{\Delta SAB}}=4$.
Nên $\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4\Rightarrow SA=2\sqrt{2}\Rightarrow l=2\sqrt{2}$
và $AB=SA\sqrt{2}=4$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $AB\bot OH,SH=\dfrac{1}{2}AB=2.$
Gọi $K$ là hình chiếu của O lên SH.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK $ mà $ SH\bot OK $ nên $ OK\bot \left( SAB \right)$.
Do đó, góc giữa $SO$ và $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSK}\Rightarrow \widehat{OSK}=30{}^\circ $.
$\Delta SOH$ vuông tại $O$, có $\widehat{OSH}=30{}^\circ $ nên $OH=\dfrac{1}{2}SH=1\Rightarrow SO=\sqrt{3}$.
Do ${{r}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=1+4=5\Rightarrow r=\sqrt{5}$.
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SO.\pi {{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\pi .5=\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$.
Đáp án D.