Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30°. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
A. $\sqrt{5}\pi $
B. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$
C. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
A. $\sqrt{5}\pi $
B. $\dfrac{10\sqrt{2}\pi }{3}$
C. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi }{3}$
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}$
Phương pháp:
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.
- Gọi M là trung điểm của AB, trong (SOM) kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right),$ chứng minh $OH\bot \left( SAB \right).$
- Xác định góc giữa SO và (SAB) là góc giữa SO và hình chiếu của SO lên (SAB).
- Dựa vào diện tích tam giác SAB, tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông tính SO, OA.
- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h.$
Cách giải:
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.
Gọi M là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\bot AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Trong $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SH\left( H\in SM \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AB\bot OH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SH $ là hình chiếu của $ SO $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SO;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SO;SH \right)=\angle HSO=\angle MSO={{30}^{0}}.$
Theo bài ra ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB=4\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=8\Leftrightarrow SA=2\sqrt{2}.$
Tam giác SAB vuông cân tại $S\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=2\sqrt{2}.\sqrt{2}=4\Rightarrow SM=\dfrac{1}{2}AB=2.$
Xét tam giác vuông SOM có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO=SM.\cos {{30}^{0}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=h \\
& OM=SM.\sin {{30}^{0}}=2.\dfrac{1}{2}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:
$OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}=R.$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}.\sqrt{3}=\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}.$
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.
- Gọi M là trung điểm của AB, trong (SOM) kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right),$ chứng minh $OH\bot \left( SAB \right).$
- Xác định góc giữa SO và (SAB) là góc giữa SO và hình chiếu của SO lên (SAB).
- Dựa vào diện tích tam giác SAB, tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông tính SO, OA.
- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h.$
Cách giải:
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.
Gọi M là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\bot AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Trong $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SH\left( H\in SM \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AB\bot OH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SH $ là hình chiếu của $ SO $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SO;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SO;SH \right)=\angle HSO=\angle MSO={{30}^{0}}.$
Theo bài ra ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB=4\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=8\Leftrightarrow SA=2\sqrt{2}.$
Tam giác SAB vuông cân tại $S\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=2\sqrt{2}.\sqrt{2}=4\Rightarrow SM=\dfrac{1}{2}AB=2.$
Xét tam giác vuông SOM có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO=SM.\cos {{30}^{0}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=h \\
& OM=SM.\sin {{30}^{0}}=2.\dfrac{1}{2}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:
$OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}=R.$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}.\sqrt{3}=\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{3}.$
Đáp án D.