Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông $SAB$ có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Góc giữa trục $SO$ và mặt phẳng $\left(SAB \right)$ bằng $30{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A. $4\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, theo giả thiết ta có tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $SM\bot AB$, $OM\bot AB$ và góc giữa $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSM}=30{}^\circ $.
*Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}S{{A}^{2}}\Rightarrow l=SA=\sqrt{2{{S}_{\Delta SAB}}}=2a\sqrt{2}$ ; $AB=SA\sqrt{2}=4a$ ; $SM=\frac{1}{2}AB=2a$.
*Trong tam giác $SOM$ ta có $OM=SM.\sin \widehat{OSM}=2a.\frac{1}{2}=a$.
*Trong tam giác $OMB$ ta có $r=OB=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\sqrt{O{{M}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
* Diện tích xung quanh của hình nón: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .OB.SA=\pi .a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
A. $4\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, theo giả thiết ta có tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $SM\bot AB$, $OM\bot AB$ và góc giữa $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $\widehat{OSM}=30{}^\circ $.
*Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}S{{A}^{2}}\Rightarrow l=SA=\sqrt{2{{S}_{\Delta SAB}}}=2a\sqrt{2}$ ; $AB=SA\sqrt{2}=4a$ ; $SM=\frac{1}{2}AB=2a$.
*Trong tam giác $SOM$ ta có $OM=SM.\sin \widehat{OSM}=2a.\frac{1}{2}=a$.
*Trong tam giác $OMB$ ta có $r=OB=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\sqrt{O{{M}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
* Diện tích xung quanh của hình nón: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .OB.SA=\pi .a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án B.