Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Dựng hai đường sinh $SA$ và $SB$, biết tam giác $SAB$ vuông và có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Góc tạo bới giữa trục $SO$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng ${{30}^{0}}$. Đường cao của hình nón bằng
A. $h=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $h=a \sqrt{3}$.
C. $h=\dfrac{a \sqrt{6}}{4}$.
D. $h=a \sqrt{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SM$.Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO\ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow OK\bot AB$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& OK\bot SM \\
& OK\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right) $. Do đó góc giữa $ SO $ và mặt phẳng $ \left( SAB \right) $là $ \widehat{OSK}={{30}^{0}}$.
Ta có $\widehat{SOK}={{60}^{0}},\widehat{SMO}={{60}^{0}}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow \dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow S{{A}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a$
Tam giác $SKO$ vuông tại $K\Rightarrow \cos \widehat{KSO}=\dfrac{SK}{SO}\Rightarrow SK=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SO$
Tam giác $SMO$ vuông tại $O\Rightarrow \cos \widehat{KMO}=\dfrac{MK}{MO}\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}MO=\dfrac{1}{2}\dfrac{SO}{\sqrt{3}}$
Ta có $SM=\dfrac{1}{2}AB=2a\Leftrightarrow SK+KM=2a\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}SO+\dfrac{SO}{6}\sqrt{3}=2a\Rightarrow SO=\sqrt{3}a$.
A. $h=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $h=a \sqrt{3}$.
C. $h=\dfrac{a \sqrt{6}}{4}$.
D. $h=a \sqrt{2}$.
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO\ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow OK\bot AB$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& OK\bot SM \\
& OK\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right) $. Do đó góc giữa $ SO $ và mặt phẳng $ \left( SAB \right) $là $ \widehat{OSK}={{30}^{0}}$.
Ta có $\widehat{SOK}={{60}^{0}},\widehat{SMO}={{60}^{0}}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow \dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow S{{A}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a$
Tam giác $SKO$ vuông tại $K\Rightarrow \cos \widehat{KSO}=\dfrac{SK}{SO}\Rightarrow SK=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SO$
Tam giác $SMO$ vuông tại $O\Rightarrow \cos \widehat{KMO}=\dfrac{MK}{MO}\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}MO=\dfrac{1}{2}\dfrac{SO}{\sqrt{3}}$
Ta có $SM=\dfrac{1}{2}AB=2a\Leftrightarrow SK+KM=2a\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}SO+\dfrac{SO}{6}\sqrt{3}=2a\Rightarrow SO=\sqrt{3}a$.
Đáp án B.