Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O,$ thiết diện qua trục là tam giác đều. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $S$ và cắt đường tròn đáy tại $A, B$ sao cho $\widehat{AOB}={{120}^{0}}.$ Biết khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{3\sqrt{39} a}{13}.$ Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng
A. $18\pi {{a}^{2}}.$
B. $27\pi {{a}^{2}}.$
C. $12\pi {{a}^{2}}.$
D. $16\pi {{a}^{2}}.$
Dựng $OI\bot AB, OH\bot SI.$
Khi đó $d\left( O;\left( P \right) \right)=OH=\dfrac{3a\sqrt{39}}{13}.$
Ta có tam giác $OAB$ cân tại $O, OI\bot AB$ nên $OI$ là tia phân giác $\widehat{AOI}={{60}^{0}}.$
Xét $\Delta OAI$ vuông tại $I$ có $\widehat{AOI}={{60}^{0}}, OA=R\Rightarrow OI=\dfrac{R}{2}.$
Vì thiết diện qua trục là tam giác đều
nên $SA=2R, SO=R\sqrt{3}.$
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O$ có $SO=R\sqrt{3}, OI=\dfrac{R}{2}, OH=\dfrac{3a\sqrt{39}}{13},$ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{13}{27{{a}^{2}}}=\dfrac{13}{3{{R}^{2}}}\Leftrightarrow R=3a.$
Hình nón đã cho có bán kính $R=3a,$ đường sinh $l=6a.$
Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}=\pi \left( {{R}^{2}}+Rl \right)=27\pi {{a}^{2}}.$
A. $18\pi {{a}^{2}}.$
B. $27\pi {{a}^{2}}.$
C. $12\pi {{a}^{2}}.$
D. $16\pi {{a}^{2}}.$
Khi đó $d\left( O;\left( P \right) \right)=OH=\dfrac{3a\sqrt{39}}{13}.$
Ta có tam giác $OAB$ cân tại $O, OI\bot AB$ nên $OI$ là tia phân giác $\widehat{AOI}={{60}^{0}}.$
Xét $\Delta OAI$ vuông tại $I$ có $\widehat{AOI}={{60}^{0}}, OA=R\Rightarrow OI=\dfrac{R}{2}.$
Vì thiết diện qua trục là tam giác đều
nên $SA=2R, SO=R\sqrt{3}.$
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O$ có $SO=R\sqrt{3}, OI=\dfrac{R}{2}, OH=\dfrac{3a\sqrt{39}}{13},$ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{13}{27{{a}^{2}}}=\dfrac{13}{3{{R}^{2}}}\Leftrightarrow R=3a.$
Hình nón đã cho có bán kính $R=3a,$ đường sinh $l=6a.$
Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}=\pi \left( {{R}^{2}}+Rl \right)=27\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án B.