Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng $2a.$ Mặt phẳng $\left(P \right)$ qua $\left(S \right)$ cắt đường tròn đáy tại $A$ và $B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}a.$ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy hình nón đến $\left(P \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a}{\sqrt{5}}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}.$
D. $a.$
Ta có: $SO=R=2a.$
Kẻ $OH\bot AB\Rightarrow AH=HB=\dfrac{2\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a.$
Xét tam giác vuông $OAH,$ ta có: $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left(2a \right)}^{2}}-{{\left(\sqrt{3}a \right)}^{2}}}=a$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& SO\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left(SHO \right)$
Kẻ $OK\bot SH\Rightarrow OK\bot AB\Rightarrow d\left(O;\left( P \right) \right)=d\left(O;\left( SAB \right) \right)=OK$.
Tam giác vuông $SOH$ vuông tại $O,$ ta có:
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OK=\sqrt{\dfrac{S{{O}^{2}}. O{{H}^{2}}}{S{{O}^{2}}+O{{K}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
A. $\dfrac{a}{\sqrt{5}}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}.$
D. $a.$
Ta có: $SO=R=2a.$
Kẻ $OH\bot AB\Rightarrow AH=HB=\dfrac{2\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a.$
Xét tam giác vuông $OAH,$ ta có: $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left(2a \right)}^{2}}-{{\left(\sqrt{3}a \right)}^{2}}}=a$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& SO\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left(SHO \right)$
Kẻ $OK\bot SH\Rightarrow OK\bot AB\Rightarrow d\left(O;\left( P \right) \right)=d\left(O;\left( SAB \right) \right)=OK$.
Tam giác vuông $SOH$ vuông tại $O,$ ta có:
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OK=\sqrt{\dfrac{S{{O}^{2}}. O{{H}^{2}}}{S{{O}^{2}}+O{{K}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án C.