Cho hình nón đỉnh $O$ có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân $OAB,AB=a.$ Một mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $O,$ tạo với mặt...

Do tam giác vuông cân $OAB$ nên ta có $OB={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}=OM=ON$ và $OI={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}.$
Gọi $I$ là tâm đường tròn đáy và $H$ là giao điểm của $MN$ và $AB$. Suy ra $IH\mathrm{\perp }MN$ và $H$ là trung điểm $MN$. Khi đó $OH\mathrm{\perp }MN$.
Vậy góc giữa $\left(P\right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{OHI}$. Khi đó $\widehat{OHI}={60}^0$.
Trong tam giác $\mathrm{\Delta }OIH$ vuông tại $I$ ta có
$\sin \widehat{OHI}={\displaystyle \frac{OI}{OH}}\iff OH={\displaystyle \frac{OI}{\sin \widehat{OHI}}}={\displaystyle \frac{a}{2\sin {60}^0}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$
Trong tam giác $\mathrm{\Delta }OHM$ vuông tại $H$ ta có $MH=\sqrt{O{M}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{3a^2}{9}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{9}}.$
Suy ra $MN=2MH={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}.$
Vậy diện tích $\mathrm{\Delta }OMN$ là $S_{\mathrm{\Delta }OMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}.OH.MN={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{2}}{6}}$ (đvdt).