Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $O$ có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân $OAB,AB=a.$ Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $O,$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{60}^{0}}$ và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $OMN.$ Diện tích tam giác $OMN$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{7}.$
C. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}.$
Do tam giác vuông cân $OAB$ nên ta có $OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=OM=ON$ và $OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}.$
Gọi $I$ là tâm đường tròn đáy và $H$ là giao điểm của $MN$ và $AB$. Suy ra $IH\bot MN$ và $H$ là trung điểm $MN$. Khi đó $OH\bot MN$.
Vậy góc giữa $\left( P \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{OHI}$. Khi đó $\widehat{OHI}={{60}^{0}}$.
Trong tam giác $\Delta OIH$ vuông tại $I$ ta có
$\sin \widehat{OHI}=\dfrac{OI}{OH}\Leftrightarrow OH=\dfrac{OI}{\sin \widehat{OHI}}=\dfrac{a}{2\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Trong tam giác $\Delta OHM$ vuông tại $H$ ta có $MH=\sqrt{O{{M}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{9}.$
Suy ra $MN=2MH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Vậy diện tích $\Delta OMN$ là ${{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{2}.OH.MN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}$ (đvdt).
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{7}.$
C. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}.$
Do tam giác vuông cân $OAB$ nên ta có $OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=OM=ON$ và $OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}.$
Gọi $I$ là tâm đường tròn đáy và $H$ là giao điểm của $MN$ và $AB$. Suy ra $IH\bot MN$ và $H$ là trung điểm $MN$. Khi đó $OH\bot MN$.
Vậy góc giữa $\left( P \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{OHI}$. Khi đó $\widehat{OHI}={{60}^{0}}$.
Trong tam giác $\Delta OIH$ vuông tại $I$ ta có
$\sin \widehat{OHI}=\dfrac{OI}{OH}\Leftrightarrow OH=\dfrac{OI}{\sin \widehat{OHI}}=\dfrac{a}{2\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Trong tam giác $\Delta OHM$ vuông tại $H$ ta có $MH=\sqrt{O{{M}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{9}.$
Suy ra $MN=2MH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Vậy diện tích $\Delta OMN$ là ${{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{2}.OH.MN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}$ (đvdt).
Đáp án A.