Google
Câu hỏi: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là $2R$, độ dài đường sinh là $R\sqrt{10}$ và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng $2R$, lồng vào nhau như hình vẽ.
Tỉ số thể tích phần khối nón nằm ngoài khối trụ và phần khối trụ không giao với khối nón là
A. $\dfrac{1}{56}$.
B. $\dfrac{1}{27}$.
C. $\dfrac{1}{54}$.
D. $\dfrac{1}{28}$.
Ta có $SI=\sqrt{S{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{10{{R}^{2}}-{{R}^{2}}}=3R\Rightarrow SE=SI-EI=R$.
Mặt khác: $\dfrac{SE}{SI}=\dfrac{EF}{I{{A}_{1}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow EF=\dfrac{I{{A}_{1}}}{3}=\dfrac{R}{3}$
Thể tích khối nón lớn (có đường cao $SI$ ) là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.3R=\pi {{R}^{3}}$.
Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao $SE$ ) là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{R}{3} \right)}^{2}}.R=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{27}$.
Thể tích phần khối giao nhau giữa khối nón và khối trụ là ${{V}_{3}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{26}{27}\pi {{R}^{3}}$.
Thể tích khối trụ là là ${{V}_{4}}=\pi {{R}^{2}}.2R=2\pi {{R}^{3}}$.
Suy ra thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là $V={{V}_{4}}-{{V}_{3}}=\dfrac{28}{27}\pi {{R}^{3}}$.
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là $\dfrac{{{V}_{2}}}{V}=\dfrac{1}{28}$.
A. $\dfrac{1}{56}$.
B. $\dfrac{1}{27}$.
C. $\dfrac{1}{54}$.
D. $\dfrac{1}{28}$.
Mặt khác: $\dfrac{SE}{SI}=\dfrac{EF}{I{{A}_{1}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow EF=\dfrac{I{{A}_{1}}}{3}=\dfrac{R}{3}$
Thể tích khối nón lớn (có đường cao $SI$ ) là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.3R=\pi {{R}^{3}}$.
Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao $SE$ ) là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{R}{3} \right)}^{2}}.R=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{27}$.
Thể tích phần khối giao nhau giữa khối nón và khối trụ là ${{V}_{3}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{26}{27}\pi {{R}^{3}}$.
Thể tích khối trụ là là ${{V}_{4}}=\pi {{R}^{2}}.2R=2\pi {{R}^{3}}$.
Suy ra thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là $V={{V}_{4}}-{{V}_{3}}=\dfrac{28}{27}\pi {{R}^{3}}$.
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là $\dfrac{{{V}_{2}}}{V}=\dfrac{1}{28}$.
Đáp án D.