Cho hình nón có chiều cao bằng $3 a,$ biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng

3 a,

biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng

a,

thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

15 π a^{3} .

B.

9 π a^{3} .

C.

\frac{45 π a^{3}}{4} .

D.

12 π a^{3} .

Giả sử hình nón có đỉnh

S,

tâm đường tròn đáy là

I,

thiết diện là tam giác

S A B, H

là hình chiếu vuông góc của

I

lên

(S A B)

(như hình vẽ).
Theo bài ra ta có

I H = a, Δ S A B

vuông cân tại

S, S I = 3 a .

\frac{1}{I T^{2}} = \frac{1}{I H^{2}} - \frac{1}{S I^{2}} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{8}{9 a^{2}} \Rightarrow I T = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}

Δ S A B

vuông cân tại

S

nên

S T = \frac{1}{2} S B = \frac{S I . I T}{I H} = \frac{9 a \sqrt{2}}{4} \Rightarrow A T = \frac{9 a \sqrt{2}}{4}

R^{2} = I A^{2} = I T^{2} + A T^{2} = \frac{9 a^{2}}{8} + {(\frac{9 a \sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{45 a^{2}}{4} .

Thể tích của khối nón là

V = \frac{1}{3} π .3 a . \frac{45 a^{2}}{4} = \frac{45 π a^{3}}{4} .

Đáp án C.

Cho hình nón có chiều cao bằng 3a, biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một...