Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $3a,$ biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng $a,$ thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $15\pi {{a}^{3}}.$
B. $9\pi {{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{45\pi {{a}^{3}}}{4}.$
D. $12\pi {{a}^{3}}.$
Giả sử hình nón có đỉnh $S,$ tâm đường tròn đáy là $I,$ thiết diện là tam giác $SAB,H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( SAB \right)$ (như hình vẽ).
Theo bài ra ta có $IH=a,\Delta SAB$ vuông cân tại $S,SI=3a.$
$\dfrac{1}{I{{T}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{8}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow IT=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S$ nên $ST=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{SI.IT}{IH}=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow AT=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}$
${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}=I{{T}^{2}}+A{{T}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}+{{\left( \dfrac{9a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{45{{a}^{2}}}{4}.$
Thể tích của khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .3a.\dfrac{45{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{45\pi {{a}^{3}}}{4}.$
A. $15\pi {{a}^{3}}.$
B. $9\pi {{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{45\pi {{a}^{3}}}{4}.$
D. $12\pi {{a}^{3}}.$
Giả sử hình nón có đỉnh $S,$ tâm đường tròn đáy là $I,$ thiết diện là tam giác $SAB,H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( SAB \right)$ (như hình vẽ).
Theo bài ra ta có $IH=a,\Delta SAB$ vuông cân tại $S,SI=3a.$
$\dfrac{1}{I{{T}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{8}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow IT=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S$ nên $ST=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{SI.IT}{IH}=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow AT=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}$
${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}=I{{T}^{2}}+A{{T}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}+{{\left( \dfrac{9a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{45{{a}^{2}}}{4}.$
Thể tích của khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .3a.\dfrac{45{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{45\pi {{a}^{3}}}{4}.$
Đáp án C.