Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $2\sqrt{3}$. Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có số đo bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $104\pi $.
B. $\dfrac{4\sqrt{39}\pi }{3}$.
C. $104\sqrt{3}\pi $.
D. $\dfrac{56\sqrt{3}\pi }{9}$.
*) Giả sử thiết diện là tam giác đều $SAB$ có cạnh bằng $x$, chiều cao $SH=2\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& HI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ Góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left(SAB \right) $ và $ \left(HAB \right) $bằng góc tạo bởi hai đường thẳng $ SI $ và $ HI $ $ \Rightarrow \widehat{SIH}=60{}^\circ $.
*) Ta có: $SI=\dfrac{SH}{\sin \widehat{SIH}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=4$.
Mặt khác: $SI=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{x\sqrt{3}}{2}=4\Rightarrow x=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\Rightarrow IB=\dfrac{x}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
*) $IH=\dfrac{SH}{\tan 60{}^\circ }=2$. Bán kính mặt đáy của hình nón: $R=\sqrt{I{{B}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$.
*) Thể tích khối nón cần tìm: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{84}{9}. 2\sqrt{3}=\dfrac{56\sqrt{3}\pi }{9}$.
A. $104\pi $.
B. $\dfrac{4\sqrt{39}\pi }{3}$.
C. $104\sqrt{3}\pi $.
D. $\dfrac{56\sqrt{3}\pi }{9}$.
*) Giả sử thiết diện là tam giác đều $SAB$ có cạnh bằng $x$, chiều cao $SH=2\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& HI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ Góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left(SAB \right) $ và $ \left(HAB \right) $bằng góc tạo bởi hai đường thẳng $ SI $ và $ HI $ $ \Rightarrow \widehat{SIH}=60{}^\circ $.
*) Ta có: $SI=\dfrac{SH}{\sin \widehat{SIH}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=4$.
Mặt khác: $SI=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{x\sqrt{3}}{2}=4\Rightarrow x=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\Rightarrow IB=\dfrac{x}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
*) $IH=\dfrac{SH}{\tan 60{}^\circ }=2$. Bán kính mặt đáy của hình nón: $R=\sqrt{I{{B}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$.
*) Thể tích khối nón cần tìm: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{84}{9}. 2\sqrt{3}=\dfrac{56\sqrt{3}\pi }{9}$.
Đáp án D.