Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và $B'C';\alpha $ là góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( A'B'C'D' \right).$ Tính giá trị của $\sin \alpha .$
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2}$
D. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2}$
D. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $A'C'\Rightarrow MH\bot \left( A'B'C'D' \right).$
$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left( A'B'C'D' \right).$
Do đó $\alpha =\angle \left( MN;\left( A'B'C'D' \right) \right)=\angle \left( MN;HN \right)=\angle MNH$
Ta có: $MH=AA'=AB,HN=\dfrac{1}{2}A'B'=\dfrac{1}{2}AB.$
Xét tam giác vuông $ANH$ có: $MN=\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}+\dfrac{1}{4}A{{B}^{2}}}=\dfrac{AB\sqrt{5}}{2}.$
Vậy $\sin \alpha =\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $A'C'\Rightarrow MH\bot \left( A'B'C'D' \right).$
$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left( A'B'C'D' \right).$
Do đó $\alpha =\angle \left( MN;\left( A'B'C'D' \right) \right)=\angle \left( MN;HN \right)=\angle MNH$
Ta có: $MH=AA'=AB,HN=\dfrac{1}{2}A'B'=\dfrac{1}{2}AB.$
Xét tam giác vuông $ANH$ có: $MN=\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}+\dfrac{1}{4}A{{B}^{2}}}=\dfrac{AB\sqrt{5}}{2}.$
Vậy $\sin \alpha =\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án B.