Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.Gọi $M,N,P,Q,R,S$ là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh $M,N,P,Q,R,S$ bằng :
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy B là $V=\dfrac{1}{3}Bh$
Cách giải:
Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $BB',AA',DD',CC',$ khi đó ta có $\left( EFGH \right)\equiv \left( MNPQ \right)$
Gọi Olà tấm hình lập phương, khi đÓO là trung điểm của RS và $RS\bot (MNPQ)$ tại O.
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{V}_{RSMNPQ}}={{V}_{R.MNPQ}}+{{V}_{S.MNPQ}} \\
& =\dfrac{1}{3}RO.{{S}_{MNPQ}}+\dfrac{1}{3}SO{{S}_{MNPQ}} \\
& =\dfrac{1}{3}RS.{{S}_{MNPQ}} \\
\end{aligned}$
Do EFGH là hình vuông cạnh a nên $MN=NP=\dfrac{1}{2}EG=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=MN.NP=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},RS=a$
Vậy ${{V}_{RS,MQPQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy B là $V=\dfrac{1}{3}Bh$
Cách giải:
Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $BB',AA',DD',CC',$ khi đó ta có $\left( EFGH \right)\equiv \left( MNPQ \right)$
Gọi Olà tấm hình lập phương, khi đÓO là trung điểm của RS và $RS\bot (MNPQ)$ tại O.
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{V}_{RSMNPQ}}={{V}_{R.MNPQ}}+{{V}_{S.MNPQ}} \\
& =\dfrac{1}{3}RO.{{S}_{MNPQ}}+\dfrac{1}{3}SO{{S}_{MNPQ}} \\
& =\dfrac{1}{3}RS.{{S}_{MNPQ}} \\
\end{aligned}$
Do EFGH là hình vuông cạnh a nên $MN=NP=\dfrac{1}{2}EG=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=MN.NP=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},RS=a$
Vậy ${{V}_{RS,MQPQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án B.