Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,N,P,Q,R,S$ là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh $M,N,P,Q,R,S$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao $h,$ diện tích đáy $B$ là $V=\dfrac{1}{3}Bh.$
Cách giải:
Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $BB',AA',DD',CC'$, khi đí ta có $\left( EFGH \right)\equiv \left( MNPQ \right).$
Gọi $O$ là tâm hình lập phương, khi đó $O$ là trung điểm của $RS$ và $RS\bot \left( MNPQ \right)$ tại $O.$
Ta có:
${{V}_{RSMNPQ}}={{V}_{R.MNPQ}}+{{V}_{S.MNPQ}}$
$=\dfrac{1}{3}RO.{{S}_{MNPQ}}+\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{MNPQ}}$
$=\dfrac{1}{3}RS.{{S}_{MNPQ}}$
Do $EFGH$ là hình vuông cạnh $a$ nên $MN=NP=\dfrac{1}{2}EG=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=MN.NP=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},RS=a.$
Vậy ${{V}_{RSMNPQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao $h,$ diện tích đáy $B$ là $V=\dfrac{1}{3}Bh.$
Cách giải:
Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $BB',AA',DD',CC'$, khi đí ta có $\left( EFGH \right)\equiv \left( MNPQ \right).$
Gọi $O$ là tâm hình lập phương, khi đó $O$ là trung điểm của $RS$ và $RS\bot \left( MNPQ \right)$ tại $O.$
Ta có:
${{V}_{RSMNPQ}}={{V}_{R.MNPQ}}+{{V}_{S.MNPQ}}$
$=\dfrac{1}{3}RO.{{S}_{MNPQ}}+\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{MNPQ}}$
$=\dfrac{1}{3}RS.{{S}_{MNPQ}}$
Do $EFGH$ là hình vuông cạnh $a$ nên $MN=NP=\dfrac{1}{2}EG=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=MN.NP=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},RS=a.$
Vậy ${{V}_{RSMNPQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án B.