Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 1. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là tâm các hình vuông $ABB'A',A'B'C'D',ADD'A'$ và $CDD'C'.$ Tính thể tích tứ diện MNPR với R là trung điểm BQ.
A. $\dfrac{1}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{24}$
D. $\dfrac{1}{24}$
A. $\dfrac{1}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{24}$
D. $\dfrac{1}{24}$
Phương pháp:
- Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm M , N , P , R .
- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện ${{V}_{MNPR}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR} \right|$.
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
$A'\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)~$
$C'\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow N\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)~$
$D\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow P\left( 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right).~$
$C'\left( 0;1;0 \right);D\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow Q\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)~$
$\Rightarrow R\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( 0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right);\overrightarrow{MP}\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);\overrightarrow{MR}\left( -\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( \dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR}=\dfrac{1}{4}.\left( -\dfrac{1}{4} \right)-\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{V}_{MNPR}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR} \right|=\dfrac{1}{24}$
- Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm M , N , P , R .
- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện ${{V}_{MNPR}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR} \right|$.
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
$A'\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)~$
$C'\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow N\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)~$
$D\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow P\left( 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right).~$
$C'\left( 0;1;0 \right);D\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow Q\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)~$
$\Rightarrow R\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( 0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right);\overrightarrow{MP}\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);\overrightarrow{MR}\left( -\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( \dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR}=\dfrac{1}{4}.\left( -\dfrac{1}{4} \right)-\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{V}_{MNPR}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MR} \right|=\dfrac{1}{24}$
Đáp án D.