Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo $B{D}^{\prime }$. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện...

Gọi $O$ là trung điểm $B{D}^{\prime }.$
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }.$
Giả sử thiết diện qua $B{D}^{\prime }$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ gọi $N=B^{\prime }{C}^{\prime }\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }.$
$\Rightarrow MN=A{B}^{\prime }=B{C}^{\prime }=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BM{D}^{\prime }N$ là hình thoi $(MB=M{D}^{\prime }=NB=N{D}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}).$
$S_{BM{D}^{\prime }N}={\displaystyle \frac{1}{2}}MN.B{D}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M^{\prime }$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M^{\prime }H\mathrm{\perp }EF,M^{\prime }K\mathrm{\perp }B{D}^{\prime }.$
Tứ giác $M{M}^{\prime }HO$ là hình bình hành $\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& M^{\prime }H=MO\\ & M^{\prime }H//MO\end{array}.$
Mà $MO\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }BC{D}^{\prime }\right)\Rightarrow M^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }BC{D}^{\prime }\right).$
$\mathrm{\Delta }{M}^{\prime }HK$ vuông tại $H\Rightarrow M^{\prime }K\ge M^{\prime }H=MO$
$\{\begin{array}{rl}& S_{B{M}^{\prime }{D}^{\prime }{N}^{\prime }}=2S_{\mathrm{\Delta }{M}^{\prime }B{D}^{\prime }}=2.{\displaystyle \frac{1}{2}}{M}^{\prime }K.B{D}^{\prime }=\sqrt{3}{M}^{\prime }K\\ & S_{BM{D}^{\prime }N}=2S_{\mathrm{\Delta }MBD}=2.{\displaystyle \frac{1}{2}}MO.B{D}^{\prime }=\sqrt{3}MO\end{array}$
$\Rightarrow S_{B{M}^{\prime }{D}^{\prime }{N}^{\prime }}\ge S_{BM{D}^{\prime }N}.$
Dấu "=" xảy ra $\iff M^{\prime }\equiv M.$