Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo $BD'$. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện...

Gọi $O$ là trung điểm $BD'.$
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $ABB'A'$ và $DCC'D'.$
Giả sử thiết diện qua $BD'$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left( ADC'B' \right)$ gọi $N=B'C'\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B'C'.$
$\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BMD'N$ là hình thoi $\left( MB=MD'=NB=ND'=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \right).$
${{S}_{BMD'N}}=\dfrac{1}{2}MN.BD'=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M'$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M'H\bot EF,M'K\bot BD'.$
Tứ giác $MM'HO$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M'H=MO \\
& M'H//MO \\
\end{aligned} \right..$
Mà $MO\bot \left( A'BCD' \right)\Rightarrow M'H\bot \left( A'BCD' \right).$
$\Delta M'HK$ vuông tại $H\Rightarrow M'K\ge M'H=MO$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{BM'D'N'}}=2{{S}_{\Delta M'BD'}}=2.\dfrac{1}{2}M'K.BD'=\sqrt{3}M'K \\
& {{S}_{BMD'N}}=2{{S}_{\Delta MBD}}=2.\dfrac{1}{2}MO.BD'=\sqrt{3}MO \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{BM'D'N'}}\ge {{S}_{BMD'N}}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow M'\equiv M.$