Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C chia hình lập phương trình hai phần thể tích. Tính tỉ số k hai phần thể tích này, biết $k<1$.
A. $\dfrac{3}{25}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{1}{5}$
D. $\dfrac{2}{25}$
A. $\dfrac{3}{25}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{1}{5}$
D. $\dfrac{2}{25}$
Phương pháp giải:
- Chứng minh mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C chính là (AB'D').
- Xác định (AB'D') chia khối chóp thành những phần nào và tính thể tích của chúng.
Giải chi tiết:
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C.
Gọi ${O}'={A}'{C}'\cap {B}'{D}'$ và $I=A{O}'\cap {A}'C$.
Vì ABCD. A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a nên $AC={A}'{C}'=a\sqrt{2};{A}'C=a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{O}'=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{{{O}'}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{AI}{I{O}'}=\dfrac{AC}{{A}'{O}'}=2\Rightarrow AI=2I{O}'=\dfrac{2}{3}A{O}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
$\dfrac{{A}'I}{IC}=\dfrac{{A}'{O}'}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {A}'I=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{3}{A}'C=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA'I có: $A{{I}^{2}}+{A}'{{I}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}={{a}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}$, suy ra tam giác AA'I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) $\Rightarrow A{O}'\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow {O}'\in \left( \alpha \right)$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{B}'{D}'\bot {A}'{C}' \\
{B}'{D}'\bot A{A}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow {B}'{D}'\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow {B}'{D}'\bot {A}'C $ $ \Rightarrow {B}'{D}'\subset \left( \alpha \right)$
$\Rightarrow \left( \alpha \right)\equiv \left( A{B}'{D}' \right)$.
Mặt phẳng $\left( A{B}'{D}' \right)$ chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A. A'B'D' và khối đa diện B'C'D'. ABCD.
Ta có: ${{V}_{A.{A}'{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'{C}'{D}'.ABCD}}={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
Vậy $k=\dfrac{{{V}_{A.{A}'{B}'{D}'}}}{{{V}_{{B}'{C}'{D}'.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}{\dfrac{5}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\dfrac{1}{5}$
- Chứng minh mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C chính là (AB'D').
- Xác định (AB'D') chia khối chóp thành những phần nào và tính thể tích của chúng.
Giải chi tiết:
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C.
Gọi ${O}'={A}'{C}'\cap {B}'{D}'$ và $I=A{O}'\cap {A}'C$.
Vì ABCD. A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a nên $AC={A}'{C}'=a\sqrt{2};{A}'C=a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{O}'=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{{{O}'}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{AI}{I{O}'}=\dfrac{AC}{{A}'{O}'}=2\Rightarrow AI=2I{O}'=\dfrac{2}{3}A{O}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
$\dfrac{{A}'I}{IC}=\dfrac{{A}'{O}'}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {A}'I=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{3}{A}'C=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA'I có: $A{{I}^{2}}+{A}'{{I}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}={{a}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}$, suy ra tam giác AA'I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) $\Rightarrow A{O}'\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow {O}'\in \left( \alpha \right)$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{B}'{D}'\bot {A}'{C}' \\
{B}'{D}'\bot A{A}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow {B}'{D}'\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow {B}'{D}'\bot {A}'C $ $ \Rightarrow {B}'{D}'\subset \left( \alpha \right)$
$\Rightarrow \left( \alpha \right)\equiv \left( A{B}'{D}' \right)$.
Mặt phẳng $\left( A{B}'{D}' \right)$ chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A. A'B'D' và khối đa diện B'C'D'. ABCD.
Ta có: ${{V}_{A.{A}'{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'{C}'{D}'.ABCD}}={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
Vậy $k=\dfrac{{{V}_{A.{A}'{B}'{D}'}}}{{{V}_{{B}'{C}'{D}'.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}{\dfrac{5}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\dfrac{1}{5}$
Đáp án C.