Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chia hình lập phương trình hai phần thể tích. Tính tỉ số k hai...

Phương pháp giải:
- Chứng minh mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C chính là (AB'D').
- Xác định (AB'D') chia khối chóp thành những phần nào và tính thể tích của chúng.
Giải chi tiết:

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A'C.
Gọi $O^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $I=A{O}^{\prime }\cap A^{\prime }C$.
Vì ABCD. A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a nên $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }=a\sqrt{2};A^{\prime }C=a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{O}^{\prime }=\sqrt{A{A^{\prime }}^2+A^{\prime }{O^{\prime }}^2}=\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
${\displaystyle \frac{AI}{I{O}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\prime }{O}^{\prime }}}=2\Rightarrow AI=2I{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}A{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}$.
${\displaystyle \frac{A^{\prime }I}{IC}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }{O}^{\prime }}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow A^{\prime }I={\displaystyle \frac{1}{2}}IC={\displaystyle \frac{1}{3}}{A}^{\prime }C={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$
Xét tam giác AA'I có: $A{I}^2+A^{\prime }{I}^2={\displaystyle \frac{2a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}=a^2=A{A^{\prime }}^2$, suy ra tam giác AA'I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) $\Rightarrow A{O}^{\prime }\subset \left(\alpha \right)\Rightarrow O^{\prime }\in \left(\alpha \right)$.
Lại có $\{\begin{array}{l}{B}^{\prime }{D}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{C}^{\prime }\\ B^{\prime }{D}^{\prime }\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow B^{\prime }{D}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow B^{\prime }{D}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }C$ $\Rightarrow B^{\prime }{D}^{\prime }\subset \left(\alpha \right)$
$\Rightarrow \left(\alpha \right)\equiv \left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.
Mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A. A'B'D' và khối đa diện B'C'D'. ABCD.
Ta có: $V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}A{A}^{\prime }.S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}A{A}^{\prime }.{\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}$
$\Rightarrow V_{B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }.ABCD}=V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}-{\displaystyle \frac{1}{6}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{5}{6}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}$.
Vậy $k={\displaystyle \frac{V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}}{V_{B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }.ABCD}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}{{\displaystyle \frac{5}{6}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$