Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cạnh a. Các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm của $C\prime B\prime $ và $C\prime D\prime .$ Tính diện tích thiết diện của hình lập phương $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cắt bởi mặt phẳng $\left( AEF \right)$.
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}.$
C. $\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
D. $\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}.$
C. $\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
D. $\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
Cách giải:
Trong $\left( ABCD \right),$ gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng A'D' và A'B'.
Trong $\left( ADDA \right),$ gọi M là giao điểm của DD' và AK.
Trong $\left( ABBA \right),$ gọi N là giao điểm của BB' và AH.
Thiết diện của hình lập phương $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cắt bởi mặt phẳng $\left( AEF \right)$ là ngũ giác $AMFEN.$
Dễ dàng chứng minh:
$KF=FE=EH\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{KF}{KH}=\dfrac{K{{D}^{\prime }}}{K{{A}^{\prime }}}=\dfrac{KM}{KA}=\dfrac{1}{3} \$/I]
\dfrac{HE}{KH}=\dfrac{H{{B}^{\prime }}}{H{{A}^{\prime }}}=\dfrac{HN}{HA}=\dfrac{1}{3} \$/I]
\end{array} \right.$
⇒ Các tam giác KMF, ENH đồng dạng với tam giác AHK tỉ lệ $\dfrac{1~}{3}$ $\Rightarrow {{S}_{KMF}}={{S}_{\text{ENH }}}=\dfrac{1}{9}{{S}_{\text{AHK }}}\Rightarrow {{S}_{\text{AMF}EN}}=\dfrac{7}{9}{{S}_{\text{AHK }}}$
Xét tam giác AHK có: $HK=3EF=\dfrac{3}{2}{{B}^{\prime }}{{D}^{\prime }}=\dfrac{3}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{2}}{2},AK=AH=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2}a \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Khoảng cách từ A đến HK: $h=\sqrt{A{{H}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2}HK \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}=\dfrac{a\sqrt{34}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{AHK}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{34}}{4}\cdot \dfrac{3a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}$
$\Rightarrow {{S}_{\text{AMF}EN}}=\dfrac{7}{9}\cdot \dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}=\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
Trong $\left( ABCD \right),$ gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng A'D' và A'B'.
Trong $\left( ADDA \right),$ gọi M là giao điểm của DD' và AK.
Trong $\left( ABBA \right),$ gọi N là giao điểm của BB' và AH.
Thiết diện của hình lập phương $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cắt bởi mặt phẳng $\left( AEF \right)$ là ngũ giác $AMFEN.$
Dễ dàng chứng minh:
$KF=FE=EH\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{KF}{KH}=\dfrac{K{{D}^{\prime }}}{K{{A}^{\prime }}}=\dfrac{KM}{KA}=\dfrac{1}{3} \$/I]
\dfrac{HE}{KH}=\dfrac{H{{B}^{\prime }}}{H{{A}^{\prime }}}=\dfrac{HN}{HA}=\dfrac{1}{3} \$/I]
\end{array} \right.$
⇒ Các tam giác KMF, ENH đồng dạng với tam giác AHK tỉ lệ $\dfrac{1~}{3}$ $\Rightarrow {{S}_{KMF}}={{S}_{\text{ENH }}}=\dfrac{1}{9}{{S}_{\text{AHK }}}\Rightarrow {{S}_{\text{AMF}EN}}=\dfrac{7}{9}{{S}_{\text{AHK }}}$
Xét tam giác AHK có: $HK=3EF=\dfrac{3}{2}{{B}^{\prime }}{{D}^{\prime }}=\dfrac{3}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{2}}{2},AK=AH=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2}a \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Khoảng cách từ A đến HK: $h=\sqrt{A{{H}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2}HK \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}=\dfrac{a\sqrt{34}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{AHK}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{34}}{4}\cdot \dfrac{3a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}$
$\Rightarrow {{S}_{\text{AMF}EN}}=\dfrac{7}{9}\cdot \dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{17}}{8}=\dfrac{7{{a}^{2}}\sqrt{17}}{24}.$
Đáp án C.