Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $BD$ $\Rightarrow AO\bot BD$.
Do $A{A}'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow A{A}'\bot BD$ suy ra $BD\bot \left( A{A}'O \right)$.
Kẻ $AH\bot {A}'O$ $\Rightarrow AH\bot BD$. Do đó $AH\bot \left( {A}'BD \right)$ hay $d\left( A;\ \left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Ta có $AO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}a \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Do $A{A}'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow A{A}'\bot BD$ suy ra $BD\bot \left( A{A}'O \right)$.
Kẻ $AH\bot {A}'O$ $\Rightarrow AH\bot BD$. Do đó $AH\bot \left( {A}'BD \right)$ hay $d\left( A;\ \left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Ta có $AO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}a \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.