Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,$ $N,$ $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ là tâm các mặt của hình lập phương.Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh $M,$ $N,$ $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Ta có: $RP$ là đường trung bình của tam giác ${A}'DB$. Do đó: $RP=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $RP \text{//} BD \left( 1 \right)$.
$PQ$ là đường trung bình của tam giác ${B}'AC$. Do đó: $PQ=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $PQ \text{//} AC \left( 2 \right)$.
$QS$ là đường trung bình của tam giác ${B}'{D}'C$. Do đó: $QS=\dfrac{1}{2}{B}'{D}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$SR$ là đường trung bình của tam giác ${A}'{C}'D$. Do đó: $SR=\dfrac{1}{2}{A}'{C}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Khi đó: $RP=PQ=QS=SR=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Suy ra tứ giác $PQSR$ là hình thoi.
Ta có: $AC\bot BD$, kết hợp với $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được: $RP\bot PQ$.
Khi đó tứ giác $PQSR$ là hình vuông.
Do đó diện tích hình vuông $PQSR$ là: ${{S}_{PQSR}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Lại có: $d\left( M, \left( PQSR \right) \right)=\dfrac{1}{2}D{D}'=\dfrac{1}{2}a$.
Thể tích khối chóp $M.PQSR$ là: ${{V}_{M.PQSR}}=\dfrac{1}{3}d\left( M, \left( PQSR \right) \right).{{S}_{PQSR}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Vậy thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh $M,$ $N,$ $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ là: ${{V}_{MNPQSR}}=2{{V}_{M.PQSR}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Ta có: $RP$ là đường trung bình của tam giác ${A}'DB$. Do đó: $RP=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $RP \text{//} BD \left( 1 \right)$.
$PQ$ là đường trung bình của tam giác ${B}'AC$. Do đó: $PQ=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $PQ \text{//} AC \left( 2 \right)$.
$QS$ là đường trung bình của tam giác ${B}'{D}'C$. Do đó: $QS=\dfrac{1}{2}{B}'{D}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$SR$ là đường trung bình của tam giác ${A}'{C}'D$. Do đó: $SR=\dfrac{1}{2}{A}'{C}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Khi đó: $RP=PQ=QS=SR=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Suy ra tứ giác $PQSR$ là hình thoi.
Ta có: $AC\bot BD$, kết hợp với $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được: $RP\bot PQ$.
Khi đó tứ giác $PQSR$ là hình vuông.
Do đó diện tích hình vuông $PQSR$ là: ${{S}_{PQSR}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Lại có: $d\left( M, \left( PQSR \right) \right)=\dfrac{1}{2}D{D}'=\dfrac{1}{2}a$.
Thể tích khối chóp $M.PQSR$ là: ${{V}_{M.PQSR}}=\dfrac{1}{3}d\left( M, \left( PQSR \right) \right).{{S}_{PQSR}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Vậy thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh $M,$ $N,$ $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ là: ${{V}_{MNPQSR}}=2{{V}_{M.PQSR}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án D.