Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh ${C}'{D}'$, G là trọng tâm tam giác ABD. Tính khoảng cách từ C đến...

Phương pháp giải:
- Mở rộng mặt phẳng $\left( {B}'MG \right)$, chứng minh $\left( {B}'MG \right)\equiv \left( {B}'GN \right)$ với N là trung điểm của $AB$.
- Đổi $d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)$ sang $d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)$.
- Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $BH\bot GN$, trong $\left( {B}'BH \right)$ kẻ $BK\bot {B}'N$. Chứng minh $BK\bot \left( {B}'GN \right)$.
- Sử dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của $AB$, ta có ${B}'M//DN$ nên ${B}',M,D,N$ đồng phẳng $\Rightarrow \left( {B}'MG \right)\equiv \left( {B}'GN \right)$.
$\Rightarrow d\left( C;\left( {B}'MG \right) \right)=d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)$.
Gọi $O=AC\cap BD$, ta có $\dfrac{AG}{AO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{AG}{AC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{AG}{CG}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $CA\cap \left( {B}'GN \right)=G\Rightarrow \dfrac{d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)}{d\left( A;\left( {B}'GN \right) \right)}=\dfrac{CG}{AG}=2$
$\Rightarrow d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)=2d\left( A;\left( {B}'GN \right) \right)$.
Lại có $AB\cap \left( {B}'GN \right)=N\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( {B}'GN \right) \right)}{d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)}=\dfrac{AN}{BN}=1$
$\Rightarrow d\left( A;\left( {B}'GN \right) \right)=d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)$ $\Rightarrow d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)=2d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)$
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $BH\bot GN$, trong $\left( {B}'BH \right)$ kẻ $BK\bot {B}'N$.
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
GN\bot BH \\
GN\bot B{B}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow GN\bot \left( B{B}'H \right)\Rightarrow GN\bot BK$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BK\bot {B}'H \\
BK\bot GN \\
\end{array} \right.\Rightarrow BK\bot \left( {B}'GN \right)\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)=BK$
Ta có $\Delta BNH\sim\Delta DNA\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{BH}{AD}=\dfrac{BN}{DN}$ $\Rightarrow BH=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $B{B}'H$ ta có: $BK=\dfrac{B{B}'.BH}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}}+B{{H}^{2}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{5}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Vậy $d\left( C;\left( {B}'MG \right) \right)=d\left( C;\left( {B}'GN \right) \right)=2d\left( B;\left( {B}'GN \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.