Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $a\sqrt{3}.$ Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( ABC' \right)?$
A. ${{30}^{0}}.$
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. ${{60}^{0}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
A. ${{30}^{0}}.$
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. ${{60}^{0}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
$ABCD.A'B'C'D'$ là hình lăng trụ tứ giác đều nên nó là hình hộp chữ nhật có hai đáy là hình vuông $\Rightarrow AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BC'.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BC' \\
& CB\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ Góc giữa hai mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ và $ \left( ABC' \right) $ là $ \widehat{C'BC}.$
Ta có: $BC'=\sqrt{B'C{{'}^{2}}+BB{{'}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
$\Rightarrow \cos \widehat{C'BC}=\dfrac{BC}{BC'}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}$
Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( ABC' \right)$ bằng $\dfrac{1}{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BC' \\
& CB\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ Góc giữa hai mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ và $ \left( ABC' \right) $ là $ \widehat{C'BC}.$
Ta có: $BC'=\sqrt{B'C{{'}^{2}}+BB{{'}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
$\Rightarrow \cos \widehat{C'BC}=\dfrac{BC}{BC'}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}$
Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( ABC' \right)$ bằng $\dfrac{1}{2}.$
Đáp án B.