Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ${ABC.A'B'C'}$ có cạnh đáy bằng ${a}$ và thể tích khối lăng trụ là ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}}$. Tính diện tích tam giác ${A'BC}$.
A. ${{a^2}\sqrt 3 }$.
B. ${\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}$.
C. ${\dfrac{{{a^2}}}{2}}$.
D. ${{a^2}}$.
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow AA'=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a}{2}$
Gọi M là trung điểm BC, kẻ $AH\bot AM$ tại H thì $AH=d\left( A,\left( A'BC \right) \right).$
Tam giác A' AM vuông tại A có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Ta có $\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}={{V}_{A'.ABC}}={{V}_{A.A'BC}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta A'BC}}\Rightarrow {{S}_{\Delta A'BC}}=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{AH}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
A. ${{a^2}\sqrt 3 }$.
B. ${\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}$.
C. ${\dfrac{{{a^2}}}{2}}$.
D. ${{a^2}}$.
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow AA'=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a}{2}$
Gọi M là trung điểm BC, kẻ $AH\bot AM$ tại H thì $AH=d\left( A,\left( A'BC \right) \right).$
Tam giác A' AM vuông tại A có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Ta có $\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}={{V}_{A'.ABC}}={{V}_{A.A'BC}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta A'BC}}\Rightarrow {{S}_{\Delta A'BC}}=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{AH}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Đáp án C.