Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a,$ góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đó.
A. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
A. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
Phương pháp:
- Đặt $AA'=x>0.$
- Phân tích vectơ để tính $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}$ theo $a$ và $x.$
- Tính $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=AB'.BC'.\cos \left( \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{BC'} \right).$
- Giải phương trình tìm $x$ theo $a.$
- Tính thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Đặt $AA'=x>0$ ta có:
$\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=\left( \overrightarrow{BB'}-\overrightarrow{BA} \right)\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'} \right)$
$=\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC}+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BB'}$
$=\overrightarrow{BB'}.\left( \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right)+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$=\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{AC}+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$={{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ (do $BB'\bot AC$ )
$={{x}^{2}}-BA.BC.\cos {{60}^{0}}+BB{{'}^{2}}$
$={{x}^{2}}-2{{a}^{2}}$
Ta có: $AB'=BC'=\sqrt{{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}$ (định lí Pytago)
$\Rightarrow \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=AB'.BC'.\cos \left( \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{BC'} \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)={{x}^{2}}-2{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}-4{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{2}a.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}.$
- Đặt $AA'=x>0.$
- Phân tích vectơ để tính $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}$ theo $a$ và $x.$
- Tính $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=AB'.BC'.\cos \left( \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{BC'} \right).$
- Giải phương trình tìm $x$ theo $a.$
- Tính thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Đặt $AA'=x>0$ ta có:
$\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=\left( \overrightarrow{BB'}-\overrightarrow{BA} \right)\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'} \right)$
$=\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC}+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BB'}$
$=\overrightarrow{BB'}.\left( \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right)+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$=\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{AC}+{{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$={{\overrightarrow{BB'}}^{2}}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ (do $BB'\bot AC$ )
$={{x}^{2}}-BA.BC.\cos {{60}^{0}}+BB{{'}^{2}}$
$={{x}^{2}}-2{{a}^{2}}$
Ta có: $AB'=BC'=\sqrt{{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}$ (định lí Pytago)
$\Rightarrow \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=AB'.BC'.\cos \left( \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{BC'} \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)={{x}^{2}}-2{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}-4{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{2}a.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}.$
Đáp án D.