Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a,AA'=a\sqrt{2}.$ Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ bằng

Phương pháp:
- Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ chứng minh $CM\bot \left( ABB'A' \right).$
- Xác định góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ bằng góc giữa $A'C$ và hình chiếu của $A'C$ lên mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác để tính góc.
Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CM\bot AB \\
& CM\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CM\bot \left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow A'M$ là hình chiếu của $A'C$ lên mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$
$\Rightarrow \angle \left( A'C;\left( ABB'A' \right) \right)=\angle \left( A'C;A'M \right)=\angle CA'M.$
Vì $CM\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow CM\bot A'M$ nên $\Delta A'CM$ vuông tại $M$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago: $A'M=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{3a}{2}.$
$\Rightarrow \tan \angle CA'M=\dfrac{CM}{A'M}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{3a}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \angle CA'M={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( A'C;\left( ABB'A' \right) \right)={{30}^{0}}.$