Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a;A{A}'=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${C}'M$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $B{B}'$ và $K, H$ lần lượt là trùn điểm của $MN$, ${A}'{B}' $
Ta có: $AB//MN\Rightarrow AB//\left( {C}'MN \right)$.
Do đó $d(AB;C'M)=d(AB;(C'MN))=d(B;(C'MN))=\dfrac{3{{V}_{BMNC'}}}{{{S}_{\vartriangle C'MN}}}$
Mà ${{V}_{BMNC'}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{C'.ABB'A}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.C'H.{{S}_{ABB'A'}}=\dfrac{1}{12}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{^{3}}}}{8}$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta C'MN}}=\dfrac{1}{2}C'K.MN=\dfrac{1}{2}\sqrt{C'{{N}^{2}}-K{{N}^{2}}}.MN \\
& =\dfrac{1}{2}.\sqrt{B'{{N}^{2}}+B'C{{'}^{2}}-K{{N}^{2}}}.a \\
& =\dfrac{1}{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4} \\
\end{aligned}$
Vậy $d\left( AB;C'M \right)=\dfrac{3{{V}_{BMNC'}}}{{{S}_{\vartriangle C'MN}}}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $B{B}'$ và $K, H$ lần lượt là trùn điểm của $MN$, ${A}'{B}' $
Ta có: $AB//MN\Rightarrow AB//\left( {C}'MN \right)$.
Do đó $d(AB;C'M)=d(AB;(C'MN))=d(B;(C'MN))=\dfrac{3{{V}_{BMNC'}}}{{{S}_{\vartriangle C'MN}}}$
Mà ${{V}_{BMNC'}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{C'.ABB'A}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.C'H.{{S}_{ABB'A'}}=\dfrac{1}{12}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{^{3}}}}{8}$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta C'MN}}=\dfrac{1}{2}C'K.MN=\dfrac{1}{2}\sqrt{C'{{N}^{2}}-K{{N}^{2}}}.MN \\
& =\dfrac{1}{2}.\sqrt{B'{{N}^{2}}+B'C{{'}^{2}}-K{{N}^{2}}}.a \\
& =\dfrac{1}{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4} \\
\end{aligned}$
Vậy $d\left( AB;C'M \right)=\dfrac{3{{V}_{BMNC'}}}{{{S}_{\vartriangle C'MN}}}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án A.