Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ${ABC.{A}'{B}'{C}'}$ có tất cả các cạnh bằng ${a}$. Gọi ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh ${AB}$ và ${{B}'{C}'}$. Mặt phẳng ${\left( {A}'MN \right)}$ cắt cạnh ${BC}$ tại ${P}$. Thể tích của khối đa diện ${MBP{A}'{B}'N}$ bằng
A. ${\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}}$.
B. ${\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}}$.
Ta có ${{V}_{BMP.B'A'N}}={{V}_{M.BB'NP}}+{{V}_{MA'B'N}}$
Ngoài ra, ta cũng có
${{V}_{M.BPNB'}}=\dfrac{1}{3}\text{d }\left( M,\left( BB'C'C \right) \right).{{S}_{BB'PN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BB'C'C \right) \right).\dfrac{3}{8}{{S}_{BB'C'C}}=\dfrac{3}{16}{{V}_{A.BC.A'B'C'}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
$$
${{V}_{MA'B'N}}=\frac{1}{3}d\left( M,A'B'C' \right).{{S}_{A'B'N}}=\frac{1}{3}.d\left( A,\left( A'B'C' \right) \right).\frac{1}{2}{{S}_{A'B'C'}}=\frac{1}{2}{{V}_{AA'B'C'}}\frac{1}{6}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
Do đó ${{V}_{BMP.B'A'N}}=\frac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{7}{24}\text{A A }\!\!'\!\!\text{ }\text{.}{{\text{S}}_{ABC}}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$
A. ${\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}}$.
B. ${\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}}$.
Ta có ${{V}_{BMP.B'A'N}}={{V}_{M.BB'NP}}+{{V}_{MA'B'N}}$
Ngoài ra, ta cũng có
${{V}_{M.BPNB'}}=\dfrac{1}{3}\text{d }\left( M,\left( BB'C'C \right) \right).{{S}_{BB'PN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BB'C'C \right) \right).\dfrac{3}{8}{{S}_{BB'C'C}}=\dfrac{3}{16}{{V}_{A.BC.A'B'C'}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
$$
${{V}_{MA'B'N}}=\frac{1}{3}d\left( M,A'B'C' \right).{{S}_{A'B'N}}=\frac{1}{3}.d\left( A,\left( A'B'C' \right) \right).\frac{1}{2}{{S}_{A'B'C'}}=\frac{1}{2}{{V}_{AA'B'C'}}\frac{1}{6}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
Do đó ${{V}_{BMP.B'A'N}}=\frac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{7}{24}\text{A A }\!\!'\!\!\text{ }\text{.}{{\text{S}}_{ABC}}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$
Đáp án B.