Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ ?
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot $
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\cdot $
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\cdot $
Vì $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ tam giác đều nên $A{A}'\bot \left( ABC \right)$ mà $BC\subset \left( ABC \right)$ nên $A{A}'\bot BC$.
Hạ $AM\bot BC$, $AH\bot {A}'M$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot A{A}' \\
& BC\bot AM \\
& A{A}'\cap AM=\left\{ A \right\} \\
& A{A}',AM\subset \left( AM{A}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BC\bot \left( AM{A}' \right) $ mà $ AH\subset \left( AM{A}' \right) $ nên $ BC\bot AH$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot {A}'M \\
& {A}'M\cap BC=\left\{ M \right\} \\
& {A}'M,BC\subset \left( {A}'BC \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)$.
Suy ra $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot $
Tam giác $AM{A}'$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{A{A}'.AM}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot $
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\cdot $
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\cdot $
Hạ $AM\bot BC$, $AH\bot {A}'M$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot A{A}' \\
& BC\bot AM \\
& A{A}'\cap AM=\left\{ A \right\} \\
& A{A}',AM\subset \left( AM{A}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BC\bot \left( AM{A}' \right) $ mà $ AH\subset \left( AM{A}' \right) $ nên $ BC\bot AH$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot {A}'M \\
& {A}'M\cap BC=\left\{ M \right\} \\
& {A}'M,BC\subset \left( {A}'BC \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)$.
Suy ra $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot $
Tam giác $AM{A}'$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{A{A}'.AM}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot $
Đáp án A.