Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $3a$. Gọi $M$ thuộc cạnh $B'C'$ sao cho $MC'=2MB'$, $N$ thuộc cạnh $AC$...

Cách 1.

Mặt phẳng cắt các mặt phẳng và theo các giao tuyến song song nên là giao điểm của đường thẳng qua song song với với cạnh
Kéo dài các đường và đồng quy tại cùng một điểm (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có
Gọi là điểm trên cạnh sao cho thì nên

Diện tích tam giác là
Vậy
Cách 2:

Mặt phẳng cắt các mặt phẳng và theo các giao tuyến song song nên là giao điểm của đường thẳng qua song song với với cạnh
Ta có
Lại có
Thể tích khối chóp là
Gọi là điểm trên cạnh sao cho thì nên

Ta có
Thể tích khối chóp là
Vậy
Cách 3:

Mặt phẳng cắt các mặt phẳng và theo các giao tuyến song song nên là giao điểm của đường thẳng qua song song với với cạnh
Ta có
Ta có

Gọi là điểm trên cạnh sao cho thì nên ta có:

Diện tích hình thang là
Thể tích khối chóp là

Thể tích khối đa diện cần tìm là