Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $3a$. Gọi $M$ thuộc cạnh $B'C'$ sao cho $MC'=2MB'$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AC=4NC$ Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ cắt cạnh $BC$ tại $Q$. Tính thể tích $V$ khối đa diện $CNQ.C'A'M$.
A. $V=\dfrac{189\sqrt{3}{{a}^{3}}}{64}$
B. $V=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
C. $V=\dfrac{26\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}.$
D. $V=\dfrac{31\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}.$
A. $V=\dfrac{189\sqrt{3}{{a}^{3}}}{64}$
B. $V=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
C. $V=\dfrac{26\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}.$
D. $V=\dfrac{31\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}.$
Cách 1.
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Kéo dài các đường $A'N,MQ$ và $C'C$ đồng quy tại cùng một điểm $P$ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2a.{{S}_{1}}={{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Diện tích tam giác $CNQ$ là ${{S}_{2}}={{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{2}CQ.CN.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}.$
Vậy ${{V}_{CNQ.C'A'M}}=\dfrac{CC'}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=a\left( \dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}+\sqrt{\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}} \right)=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Cách 2:
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2A,{{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Lại có $\dfrac{PC}{PC'}=\dfrac{CN}{A'C'}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{PC}{CC'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow PC=\dfrac{1}{3}.3a=a\Rightarrow PC'=4a.$
Thể tích khối chóp $P.C'A'M$ là ${{V}_{P.C'A'M}}=\dfrac{1}{3}.4a.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Ta có ${{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{2}D\left( N,CQ \right).CQ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.d\left( A,BC \right).CQ=\dfrac{1}{8}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}a=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$
Thể tích khối chóp $P.CNQ$ là ${{V}_{P.CNQ}}=\dfrac{1}{3}PC.{{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}.$
Vậy ${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{P.C'A'M}}-{{V}_{P.CNQ}}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}-\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Cách 3:
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Ta có ${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{N.MC'A'}}+{{V}_{N.CQMC'}}.$
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2A,{{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
${{V}_{CNQ.C'A'M}}=\dfrac{1}{3}.CC'.{{S}_{A'C'M}}=\dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên $NQ//AE,$ ta có:
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Diện tích hình thang $CQMC'$ là ${{S}_{\Delta CQNC'}}=\dfrac{1}{2}CC'\left( CQ+C'M \right)=\dfrac{1}{2}.3a.\left( \dfrac{1}{2}a+2a \right)=\dfrac{15{{a}^{2}}}{4}.$
Thể tích khối chóp $N.CQMC'$ là
${{V}_{N.CQMC'}}=\dfrac{1}{3}.d\left( N,\left( CQMC' \right) \right).{{S}_{CQNC'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}d\left( A,\left( BCC'B' \right) \right).{{S}_{CQNC'}}=\dfrac{1}{12}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{15{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Thể tích khối đa diện cần tìm là
${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{N.MC'A'}}+{{V}_{N.CQMC'}}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}+\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Kéo dài các đường $A'N,MQ$ và $C'C$ đồng quy tại cùng một điểm $P$ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2a.{{S}_{1}}={{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Diện tích tam giác $CNQ$ là ${{S}_{2}}={{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{2}CQ.CN.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}.$
Vậy ${{V}_{CNQ.C'A'M}}=\dfrac{CC'}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=a\left( \dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}+\sqrt{\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{32}} \right)=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Cách 2:
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2A,{{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Lại có $\dfrac{PC}{PC'}=\dfrac{CN}{A'C'}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{PC}{CC'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow PC=\dfrac{1}{3}.3a=a\Rightarrow PC'=4a.$
Thể tích khối chóp $P.C'A'M$ là ${{V}_{P.C'A'M}}=\dfrac{1}{3}.4a.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Ta có ${{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{2}D\left( N,CQ \right).CQ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.d\left( A,BC \right).CQ=\dfrac{1}{8}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}a=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$
Thể tích khối chóp $P.CNQ$ là ${{V}_{P.CNQ}}=\dfrac{1}{3}PC.{{S}_{\Delta CNQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}.$
Vậy ${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{P.C'A'M}}-{{V}_{P.CNQ}}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}-\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Cách 3:
Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$
Ta có ${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{N.MC'A'}}+{{V}_{N.CQMC'}}.$
Ta có $C'M=\dfrac{2}{3}B'C'=2A,{{S}_{\Delta A'C'M}}=\dfrac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
${{V}_{CNQ.C'A'M}}=\dfrac{1}{3}.CC'.{{S}_{A'C'M}}=\dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A'M//AE$ nên $NQ//AE,$ ta có:
$\dfrac{CQ}{CE}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CQ=\dfrac{1}{4}CE=\dfrac{1}{4}C'M=\dfrac{1}{2}a.$
Diện tích hình thang $CQMC'$ là ${{S}_{\Delta CQNC'}}=\dfrac{1}{2}CC'\left( CQ+C'M \right)=\dfrac{1}{2}.3a.\left( \dfrac{1}{2}a+2a \right)=\dfrac{15{{a}^{2}}}{4}.$
Thể tích khối chóp $N.CQMC'$ là
${{V}_{N.CQMC'}}=\dfrac{1}{3}.d\left( N,\left( CQMC' \right) \right).{{S}_{CQNC'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}d\left( A,\left( BCC'B' \right) \right).{{S}_{CQNC'}}=\dfrac{1}{12}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{15{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Thể tích khối đa diện cần tìm là
${{V}_{CNQ.C'A'M}}={{V}_{N.MC'A'}}+{{V}_{N.CQMC'}}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}+\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}=\dfrac{63\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}.$
Đáp án B.