Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $3a$. Gọi $M$ thuộc cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sao cho $M{C}^{\prime }=2M{B}^{\prime }$, $N$ thuộc cạnh $AC$...

Cách 1.

Mặt phẳng $\left(A^{\prime }MN\right)$ cắt các mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A^{\prime }M$ với cạnh $BC.$
Kéo dài các đường $A^{\prime }N,MQ$ và $C^{\prime }C$ đồng quy tại cùng một điểm $P$ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có $C^{\prime }M={\displaystyle \frac{2}{3}}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=2a.S_1=S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{C}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }{C}^{\prime }.C^{\prime }M.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.2a.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A^{\prime }M//AE$ nên
${\displaystyle \frac{CQ}{CE}}={\displaystyle \frac{CN}{CA}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow CQ={\displaystyle \frac{1}{4}}CE={\displaystyle \frac{1}{4}}{C}^{\prime }M={\displaystyle \frac{1}{2}}a.$
Diện tích tam giác $CNQ$ là $S_2=S_{\mathrm{\Delta }CNQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}CQ.CN.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{3a}{4}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{32}}.$
Vậy $V_{CNQ.C^{\prime }{A}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{C{C}^{\prime }}{3}}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=a({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{32}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}.{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{32}}})={\displaystyle \frac{63\sqrt{3}{a}^3}{32}}.$
Cách 2:

Mặt phẳng $\left(A^{\prime }MN\right)$ cắt các mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A^{\prime }M$ với cạnh $BC.$
Ta có $C^{\prime }M={\displaystyle \frac{2}{3}}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=2A,S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{C}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }{C}^{\prime }.C^{\prime }M.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.2a.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}.$
Lại có ${\displaystyle \frac{PC}{P{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{CN}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{CN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{PC}{C{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow PC={\displaystyle \frac{1}{3}}.3a=a\Rightarrow P{C}^{\prime }=4a.$
Thể tích khối chóp $P.C^{\prime }{A}^{\prime }M$ là $V_{P.C^{\prime }{A}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{3}}.4a.{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}=2\sqrt{3}{a}^3.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A^{\prime }M//AE$ nên
${\displaystyle \frac{CQ}{CE}}={\displaystyle \frac{CN}{CA}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow CQ={\displaystyle \frac{1}{4}}CE={\displaystyle \frac{1}{4}}{C}^{\prime }M={\displaystyle \frac{1}{2}}a.$
Ta có $S_{\mathrm{\Delta }CNQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}D(N,CQ).CQ={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{4}}.d(A,BC).CQ={\displaystyle \frac{1}{8}}.{\displaystyle \frac{3a\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}a={\displaystyle \frac{3a^2\sqrt{3}}{32}}.$
Thể tích khối chóp $P.CNQ$ là $V_{P.CNQ}={\displaystyle \frac{1}{3}}PC.S_{\mathrm{\Delta }CNQ}={\displaystyle \frac{1}{3}}.a.{\displaystyle \frac{3a^2\sqrt{3}}{32}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{32}}.$
Vậy $V_{CNQ.C^{\prime }{A}^{\prime }M}=V_{P.C^{\prime }{A}^{\prime }M}-V_{P.CNQ}=2\sqrt{3}{a}^3-{\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{32}}={\displaystyle \frac{63\sqrt{3}{a}^3}{32}}.$
Cách 3:

Mặt phẳng $\left(A^{\prime }MN\right)$ cắt các mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A^{\prime }M$ với cạnh $BC.$
Ta có $V_{CNQ.C^{\prime }{A}^{\prime }M}=V_{N.M{C}^{\prime }{A}^{\prime }}+V_{N.CQM{C}^{\prime }}.$
Ta có $C^{\prime }M={\displaystyle \frac{2}{3}}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=2A,S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{C}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }{C}^{\prime }.C^{\prime }M.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.2a.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}.$
$V_{CNQ.C^{\prime }{A}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{3}}.C{C}^{\prime }.S_{A^{\prime }{C}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{1}{3}}.3a.{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^3}{2}}.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC=2EB$ thì $A^{\prime }M//AE$ nên $NQ//AE,$ ta có:
${\displaystyle \frac{CQ}{CE}}={\displaystyle \frac{CN}{CA}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow CQ={\displaystyle \frac{1}{4}}CE={\displaystyle \frac{1}{4}}{C}^{\prime }M={\displaystyle \frac{1}{2}}a.$
Diện tích hình thang $CQM{C}^{\prime }$ là $S_{\mathrm{\Delta }CQN{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}C{C}^{\prime }(CQ+C^{\prime }M)={\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.({\displaystyle \frac{1}{2}}a+2a)={\displaystyle \frac{15a^2}{4}}.$
Thể tích khối chóp $N.CQM{C}^{\prime }$ là
$V_{N.CQM{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.d(N,\left(CQM{C}^{\prime }\right)).S_{CQN{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{4}}d(A,\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)).S_{CQN{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{12}}.{\displaystyle \frac{3a\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{15a^2}{4}}={\displaystyle \frac{15\sqrt{3}{a}^3}{32}}.$
Thể tích khối đa diện cần tìm là
$V_{CNQ.C^{\prime }{A}^{\prime }M}=V_{N.M{C}^{\prime }{A}^{\prime }}+V_{N.CQM{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}{a}^3}{2}}+{\displaystyle \frac{15\sqrt{3}{a}^3}{32}}={\displaystyle \frac{63\sqrt{3}{a}^3}{32}}.$