Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ có cạnh đáy $AB=5$. Gọi $M,N$ thứ tự là trung điểm của ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ và $A{{A}_{1}}$. Biết rằng hình chiếu của $BM$ lên đường thẳng ${{C}_{1}}N$ là đoạn thẳng có độ dài bằng $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ và chiều $A{{A}_{1}}>3$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$.
A. $\dfrac{125\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{125\sqrt{3}}{2}$.
C. $25\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{125\sqrt{3}}{4}$.
Đặt $A{{A}_{1}}=a>3$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có
$A\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; 0 \right); {{A}_{1}}\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; a \right)$ ; $B\left( 0; -\dfrac{5}{2}; 0 \right); {{B}_{1}}\left( 0; -\dfrac{5}{2}; a \right)$ ; $C\left( 0; \dfrac{5}{2}; 0 \right); {{C}_{1}}\left( 0; \dfrac{5}{2};a \right)$.
Suy ra $M\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{4}; -\dfrac{5}{4}; a \right); N\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; \dfrac{a}{2} \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{C}_{1}}N}=\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{5}{2}; -\dfrac{a}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 5\sqrt{3}; 5; a \right)$.
Nên phương trình đường thẳng ${{C}_{1}}N:\left\{ \begin{aligned}
& x=5\sqrt{3}t \\
& y=\dfrac{5}{2}+5t \\
& z=a+at \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với ${{C}_{1}}N$ : $\left( \alpha \right):5\sqrt{3}x+5y+az+\dfrac{25}{2}=0$.
Gọi $P={{C}_{1}}N\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow P\left( -5\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100}; \dfrac{5}{2}-5.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100}; a-a.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100} \right)$.
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với ${{C}_{1}}N$ : $\left( \beta \right):5\sqrt{3}x+5y+az+25-{{a}^{2}}=0$.
Gọi $Q={{C}_{1}}N\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow Q\left( -5\sqrt{3}.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100}; \dfrac{5}{2}-5.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100}; a-a.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100} \right)$.
Theo đề ta có $PQ=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow {{\left( 5\sqrt{3}.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}+{{\left( 5.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}+{{\left( a.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow \left( 100+{{a}^{2}} \right).{{\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-\dfrac{25}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}\left( {{a}^{2}}+100 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=25 \\
& {{a}^{2}}=\dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=5 \left( \text{do} a>3 \right)$.
Vậy $A{{A}_{1}}=5$.
Khi đó thể tích của khối lăng trụ $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ là ${{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}.5=\dfrac{125\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{125\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{125\sqrt{3}}{2}$.
C. $25\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{125\sqrt{3}}{4}$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có
$A\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; 0 \right); {{A}_{1}}\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; a \right)$ ; $B\left( 0; -\dfrac{5}{2}; 0 \right); {{B}_{1}}\left( 0; -\dfrac{5}{2}; a \right)$ ; $C\left( 0; \dfrac{5}{2}; 0 \right); {{C}_{1}}\left( 0; \dfrac{5}{2};a \right)$.
Suy ra $M\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{4}; -\dfrac{5}{4}; a \right); N\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; 0; \dfrac{a}{2} \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{C}_{1}}N}=\left( -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{5}{2}; -\dfrac{a}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 5\sqrt{3}; 5; a \right)$.
Nên phương trình đường thẳng ${{C}_{1}}N:\left\{ \begin{aligned}
& x=5\sqrt{3}t \\
& y=\dfrac{5}{2}+5t \\
& z=a+at \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với ${{C}_{1}}N$ : $\left( \alpha \right):5\sqrt{3}x+5y+az+\dfrac{25}{2}=0$.
Gọi $P={{C}_{1}}N\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow P\left( -5\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100}; \dfrac{5}{2}-5.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100}; a-a.\dfrac{{{a}^{2}}+25}{{{a}^{2}}+100} \right)$.
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với ${{C}_{1}}N$ : $\left( \beta \right):5\sqrt{3}x+5y+az+25-{{a}^{2}}=0$.
Gọi $Q={{C}_{1}}N\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow Q\left( -5\sqrt{3}.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100}; \dfrac{5}{2}-5.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100}; a-a.\dfrac{25}{{{a}^{2}}+100} \right)$.
Theo đề ta có $PQ=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow {{\left( 5\sqrt{3}.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}+{{\left( 5.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}+{{\left( a.\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right) \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow \left( 100+{{a}^{2}} \right).{{\left( \dfrac{{{a}^{2}}-\dfrac{25}{2}}{{{a}^{2}}+100} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-\dfrac{25}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}\left( {{a}^{2}}+100 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=25 \\
& {{a}^{2}}=\dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=5 \left( \text{do} a>3 \right)$.
Vậy $A{{A}_{1}}=5$.
Khi đó thể tích của khối lăng trụ $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ là ${{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}.5=\dfrac{125\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án D.