Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác ${ABC.A'B'C'}$. Gọi ${G}$ là trọng tâm tam giác ${ABC}$ và ${M}$ là trung điểm của cạnh bên ${BB'}$. Biết thể tích khối chóp ${A'C'GM}$ là ${V}$. Tính thể tích khối lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$ theo ${V}$.
A. ${\dfrac{{18V}}{5}}$.
B. ${\dfrac{{10V}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{16V}}{5}}$.
D. ${\dfrac{{5V}}{2}}$.
Gọi M là thể tích của hình lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
Ta có: ${{V}_{A'AGC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{AGC}}.d\left( A',\left( AGC \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.d\left( A',\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{V}_{A'ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}$
$\Rightarrow {{V}_{G.A'C'CA}}=2{{V}_{\text{GAA }\!\!'\!\!\text{ C}}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{1}}$
Tương tự. ${{V}_{C'GBC}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}\Rightarrow {{V}_{GBMC'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{GBCC'}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{1}}$ $\left( vi {{S}_{BC'M}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{BCC'}} \right)$
$\Rightarrow {{V}_{G.BCC'M}}={{V}_{GBC'M}}+{{V}_{GBCC'}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{1}}+\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
Tương tự. ${{V}_{G.AA'MB}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
Mặt khác ${{V}_{MA'B'C'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{BA'B'C'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
$\Rightarrow V={{V}_{1}}-{{V}_{G.A'C'CA}}-{{V}_{G.BCC'M}}-{{V}_{MA'B'C'}}={{V}_{1}}-\dfrac{2}{9}{{V}_{1}}-\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}-\dfrac{1}{6}V-\dfrac{1}{6}V=\dfrac{5}{18}{{V}_{1}}$
${{V}_{1}}=\dfrac{18}{5}V$
A. ${\dfrac{{18V}}{5}}$.
B. ${\dfrac{{10V}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{16V}}{5}}$.
D. ${\dfrac{{5V}}{2}}$.
Gọi M là thể tích của hình lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
Ta có: ${{V}_{A'AGC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{AGC}}.d\left( A',\left( AGC \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.d\left( A',\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{V}_{A'ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}$
$\Rightarrow {{V}_{G.A'C'CA}}=2{{V}_{\text{GAA }\!\!'\!\!\text{ C}}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{1}}$
Tương tự. ${{V}_{C'GBC}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}\Rightarrow {{V}_{GBMC'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{GBCC'}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{1}}$ $\left( vi {{S}_{BC'M}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{BCC'}} \right)$
$\Rightarrow {{V}_{G.BCC'M}}={{V}_{GBC'M}}+{{V}_{GBCC'}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{1}}+\dfrac{1}{9}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
Tương tự. ${{V}_{G.AA'MB}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
Mặt khác ${{V}_{MA'B'C'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{BA'B'C'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}$
$\Rightarrow V={{V}_{1}}-{{V}_{G.A'C'CA}}-{{V}_{G.BCC'M}}-{{V}_{MA'B'C'}}={{V}_{1}}-\dfrac{2}{9}{{V}_{1}}-\dfrac{1}{6}{{V}_{1}}-\dfrac{1}{6}V-\dfrac{1}{6}V=\dfrac{5}{18}{{V}_{1}}$
${{V}_{1}}=\dfrac{18}{5}V$
Đáp án A.