Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có diện tích đáy bằng $12$ và chiều cao bằng 6. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CB,CA$ và $P,Q,R$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ABB'A'$, $BCC'B',CAA'C'.$ Thể tích của khối đa diện $PQRABMN$ bằng:
A. 42
B. 14
C. 18
D. 21
A. 42
B. 14
C. 18
D. 21
Phương pháp:
- Gọi $P',Q',R'$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( PQR \right)$ với các cạnh $CC',AA',BB'.$ Chứng minh $P',Q',R'$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $CC',AA',BB'$, đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q'R',R'P',P'Q'.$
- Đặt ${{V}_{ABC.Q'R'P'}},$ tính ${{V}_{B.R'PQ}},{{V}_{A.Q'PR}},{{V}_{CMN.P'QR}}$ theo $V.$
- Tính ${{V}_{PQRABMN}}=V-{{V}_{B.R'PQ}}-{{V}_{A.Q'PR}}-{{V}_{CMN.P'QR}}$ theo $V.$
- Tính $V$ và suy ra ${{V}_{PQRABMN}}.$
Cách giải:
Gọi $P',Q',R'$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( PQR \right)$ với các cạnh $CC',AA',BB'.$
Dễ dàng chứng minh được $P',Q',R'$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $CC',AA',BB',$ đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q'R',R'P',P'Q'.$
Đặt $V={{V}_{ABC.Q'R'P'}}.$
Ta có: ${{S}_{R'PQ}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{R'Q'P'}}$ nên ${{V}_{B.R'PQ}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.R'Q'P'}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{12}V$
Tương tự ta có: ${{V}_{A.Q'PR}}=\dfrac{1}{12}V.$
Ta có: ${{S}_{MNC}}={{S}_{QRP'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ nên ${{V}_{CMN.P'QR}}=\dfrac{V}{4}.$
Vậy ${{V}_{PQRABMN}}=V-{{V}_{B.R'PQ}}-{{V}_{A.Q'PR}}-{{V}_{CMN.P'QR}}=V-2.\dfrac{V}{12}-\dfrac{V}{4}=\dfrac{7V}{12}=\dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{2}.12.6=21.$
- Gọi $P',Q',R'$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( PQR \right)$ với các cạnh $CC',AA',BB'.$ Chứng minh $P',Q',R'$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $CC',AA',BB'$, đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q'R',R'P',P'Q'.$
- Đặt ${{V}_{ABC.Q'R'P'}},$ tính ${{V}_{B.R'PQ}},{{V}_{A.Q'PR}},{{V}_{CMN.P'QR}}$ theo $V.$
- Tính ${{V}_{PQRABMN}}=V-{{V}_{B.R'PQ}}-{{V}_{A.Q'PR}}-{{V}_{CMN.P'QR}}$ theo $V.$
- Tính $V$ và suy ra ${{V}_{PQRABMN}}.$
Cách giải:
Gọi $P',Q',R'$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( PQR \right)$ với các cạnh $CC',AA',BB'.$
Dễ dàng chứng minh được $P',Q',R'$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $CC',AA',BB',$ đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q'R',R'P',P'Q'.$
Đặt $V={{V}_{ABC.Q'R'P'}}.$
Ta có: ${{S}_{R'PQ}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{R'Q'P'}}$ nên ${{V}_{B.R'PQ}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.R'Q'P'}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{12}V$
Tương tự ta có: ${{V}_{A.Q'PR}}=\dfrac{1}{12}V.$
Ta có: ${{S}_{MNC}}={{S}_{QRP'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ nên ${{V}_{CMN.P'QR}}=\dfrac{V}{4}.$
Vậy ${{V}_{PQRABMN}}=V-{{V}_{B.R'PQ}}-{{V}_{A.Q'PR}}-{{V}_{CMN.P'QR}}=V-2.\dfrac{V}{12}-\dfrac{V}{4}=\dfrac{7V}{12}=\dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{2}.12.6=21.$
Đáp án D.