Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích đáy bằng $12$ và chiều cao bằng 6. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CB,CA$ và $P,Q,R$...

Phương pháp:
- Gọi $P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime }$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left(PQR\right)$ với các cạnh $C{C}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }.$ Chứng minh $P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime }$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $C{C}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$, đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q^{\prime }{R}^{\prime },R^{\prime }{P}^{\prime },P^{\prime }{Q}^{\prime }.$
- Đặt $V_{ABC.Q^{\prime }{R}^{\prime }{P}^{\prime }},$ tính $V_{B.R^{\prime }PQ},V_{A.Q^{\prime }PR},V_{CMN.P^{\prime }QR}$ theo $V.$
- Tính $V_{PQRABMN}=V-V_{B.R^{\prime }PQ}-V_{A.Q^{\prime }PR}-V_{CMN.P^{\prime }QR}$ theo $V.$
- Tính $V$ và suy ra $V_{PQRABMN}.$
Cách giải:

Gọi $P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime }$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left(PQR\right)$ với các cạnh $C{C}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }.$
Dễ dàng chứng minh được $P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime }$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $C{C}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },$ đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q^{\prime }{R}^{\prime },R^{\prime }{P}^{\prime },P^{\prime }{Q}^{\prime }.$
Đặt $V=V_{ABC.Q^{\prime }{R}^{\prime }{P}^{\prime }}.$
Ta có: $S_{R^{\prime }PQ}={\displaystyle \frac{1}{4}}{S}_{R^{\prime }{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}$ nên $V_{B.R^{\prime }PQ}={\displaystyle \frac{1}{4}}{V}_{B.R^{\prime }{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{4}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}V={\displaystyle \frac{1}{12}}V$
Tương tự ta có: $V_{A.Q^{\prime }PR}={\displaystyle \frac{1}{12}}V.$
Ta có: $S_{MNC}=S_{QR{P}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{4}}{S}_{ABC}$ nên $V_{CMN.P^{\prime }QR}={\displaystyle \frac{V}{4}}.$
Vậy $V_{PQRABMN}=V-V_{B.R^{\prime }PQ}-V_{A.Q^{\prime }PR}-V_{CMN.P^{\prime }QR}=V-2.{\displaystyle \frac{V}{12}}-{\displaystyle \frac{V}{4}}={\displaystyle \frac{7V}{12}}={\displaystyle \frac{7}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.12.6=21.$