Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BC=a\sqrt{3},AB=a$. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ lên mặt đáy là điểm $M$ thỏa mãn $3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $\text{AA}'$ và $BC$ bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{210}}{15}$
B. $\dfrac{a\sqrt{210}}{45}$
C. $\dfrac{a\sqrt{714}}{17}$
D. $\dfrac{a\sqrt{714}}{51}$
Từ $A$ kẻ $Ax//BC, MI\bot Ax \left( I\in Ax \right), MH\bot A'I$ dễ thấy $MH=d\left( M;\left( A'Ax \right) \right)$.
Ta có: $d\left( AA';BC \right)=d\left( BC;\left( A'Ax \right) \right)=d\left( C;\left( A'Ax \right) \right)=3d\left( M;\left( A'Ax \right) \right)=3MH$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a; AA'=a\sqrt{2}; AM=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2a}{3};MI=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{a}{3}$.
$\Rightarrow A'M=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{3}$.
Xét tam giác vuông $MIA'$ vuông tại $M$, ta có
$MH=\dfrac{MI.A'M}{\sqrt{M{{I}^{2}}+A'{{M}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a}{3}.\dfrac{a\sqrt{14}}{3}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{210}}{45}$.
Vậy $d\left( AA';BC \right)=3MH=\dfrac{a\sqrt{210}}{15}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{210}}{15}$
B. $\dfrac{a\sqrt{210}}{45}$
C. $\dfrac{a\sqrt{714}}{17}$
D. $\dfrac{a\sqrt{714}}{51}$
Từ $A$ kẻ $Ax//BC, MI\bot Ax \left( I\in Ax \right), MH\bot A'I$ dễ thấy $MH=d\left( M;\left( A'Ax \right) \right)$.
Ta có: $d\left( AA';BC \right)=d\left( BC;\left( A'Ax \right) \right)=d\left( C;\left( A'Ax \right) \right)=3d\left( M;\left( A'Ax \right) \right)=3MH$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a; AA'=a\sqrt{2}; AM=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2a}{3};MI=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{a}{3}$.
$\Rightarrow A'M=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{3}$.
Xét tam giác vuông $MIA'$ vuông tại $M$, ta có
$MH=\dfrac{MI.A'M}{\sqrt{M{{I}^{2}}+A'{{M}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a}{3}.\dfrac{a\sqrt{14}}{3}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{210}}{45}$.
Vậy $d\left( AA';BC \right)=3MH=\dfrac{a\sqrt{210}}{15}$.
Đáp án A.